Question

2．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且bsinA=$\sqrt{3}$acosB．
（1）求角B的大��；
（2）若b=3，求△ABC的面積S的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理化簡已知可得sinBsinA=$\sqrt{3}$sinAcosB，由sinA≠0，B∈（0，π）
可解得tanB，進而可求B的值．
（2）由余弦定理可得a²+c²-ac≥2ac-ac=ac，解得ac≤9，利用三角形面積公式即可得解．

解答 （本小題滿分12分）
解：（1）∵bsinA=$\sqrt{3}$acosB，
∴sinBsinA=$\sqrt{3}$sinAcosB，…（2分）
∵sinA≠0，B∈（0，π），
∴$tanB=\sqrt{3}$，…（3分）
∴$B=\frac{π}{3}$．…（5分）
（2）由余弦定理∵b²=a²+c²-2accosB，
∴a²+c²-ac≥2ac-ac=ac，…（8分）
∴ac≤9，…（9分）
∴$S=\frac{1}{2}acsinB=\frac{{\sqrt{3}}}{4}ac≤\frac{{9\sqrt{3}}}{4}$．…（12分）

點評 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面積公式，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．