Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

1

3

x3+

1-a

2

x2-ax-a（a＞0）．
（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（-2，0）內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍；
（2）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，t+3]上的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的取值情況，即可求出m的取值范圍，
（2）需要分類討論，利用函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)區(qū)間情況分類討論，可求得f（x）在[t，t+3]上最大值．

解答： 解：（1）∵f(x)=

1

3

x3+

1-a

2

x2-ax-a(a＞0)
∴f'（x）=x²+（1-a）x-a=（x+1）（x-a），
令f'（x）=0，解得x₁=-1，x₂=a＞0
當(dāng)x變化時(shí)，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

2a-1≤2	（-∞，-1）	-1	（-1，a）	a	（a，+∞）
f'（x）	1 4 a-a+1=0	0	-	0	a= 4 3
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-1），（a，+∞）；單調(diào)遞減區(qū)間為（-1，a）；（4分）
因此f（x）在區(qū)間（-2，-1）內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間（-1，0）內(nèi)單調(diào)遞減，要使函數(shù)f（x）在區(qū)間（-2，0）內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)

f(-2)＜0 f(-1)＞0 f(0)＜0

，解得0＜a＜

1

3

，所以a的取值范圍是（0，

1

3

）．
（2）當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=

1

3

x3-x-1．由（1）可知，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-1），（1，+∞）；單調(diào)遞減區(qū)間為（-1，1）；f(x)極大值=f(-1)=-

1

3

．
①當(dāng)t+3＜-1，即t＜-4時(shí)，
因?yàn)閒（x）在區(qū)間[t，t+3]上單調(diào)遞增，所以f（x）在區(qū)間[t，t+3]上的最大值為f(x)max=f(t+3)=

1

3

(t+3)3-(t+3)-1=

1

3

t3+3t2+8t+5；       （9分）
②當(dāng)-1≤t+3≤2，即-4≤t≤-1時(shí)，
因?yàn)閒（x）在區(qū)間（-∞，-1]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[-1，1]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞增，且f(2)=f(-1)=-

1

3

，所以f（x）在區(qū)間（-∞，2]上的最大值為f(2)=f(-1)=-

1

3

．
由-1≤t+3≤2，即-4≤t≤-1時(shí)，有[t，t+3]?（-∞，2]，-1∈[t，t+3]，所以f（x）在[t，t+3]上的最大值為f(x)max=f(-1)=-

1

3

；                            
③當(dāng)t+3＞2，即t＞-1時(shí)，
由②得f（x）在區(qū)間（-∞，2]上的最大值為f(2)=f(-1)=-

1

3

．因?yàn)閒（x）在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增，所以f（t+3）＞f（2），故f（x）在[t，t+3]上的最大值為f(x)max=f(t+3)=

1

3

t3+3t2+8t+5．
綜上所述，當(dāng)a=1時(shí)，f（x）在[t，t+3]上的最大值f(x)max=

1 3 t3+3t2+8t+5(t＜-4或t＞-1) - 1 3 (-4≤t≤-1)

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、零點(diǎn)以及函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，同時(shí)考查分析問題、解決問題的能力以及分類討論的數(shù)學(xué)思想．