Question

【題目】給定整數(shù)()，設(shè)集合，記集合．

（1）若，求集合；

（2）若構(gòu)成以為首項(xiàng)，()為公差的等差數(shù)列，求證：集合中的元素個(gè)數(shù)為；

（3）若構(gòu)成以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，求集合中元素的個(gè)數(shù)及所有元素之和．

Answer 1

【答案】（1）（2）見(jiàn)解析（3）

【解析】

（1）由新定義和集合的列舉法，可得所求集合；

（2）運(yùn)用等差數(shù)列為遞增數(shù)列，以及性質(zhì)，即可得到所求個(gè)數(shù)；

（3）由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和性質(zhì)，結(jié)合新定義計(jì)算可得所求結(jié)論．

（1）因?yàn)?/span>，

當(dāng)時(shí)，

∴．

(2) 因?yàn)?/span>構(gòu)成以為首項(xiàng)，()為公差的等差數(shù)列，所以有()，以及()．

此時(shí)，集合中的元素有以下大小關(guān)系：

．

因此，集合中含有個(gè)元素．

(3)由題設(shè)，．

設(shè)集合，．

①先證中的元素個(gè)數(shù)為，即從集合中任取兩個(gè)元素，它們的和互不相同．

不妨設(shè)，于是．

顯然．

假設(shè)，可得，即．

因?yàn)?/span>，，所以，又，于是，等式不成立．

因此，．

同理可證．

②再證．

不妨設(shè)，于是．

顯然，．

假設(shè)，可得，即，

因?yàn)?/span>，所以，又，于是，等式不成立．

因此，．

由①②，得，且．

此時(shí)，集合中的元素個(gè)數(shù)為．

集合中所有元素的和為．