Question

有下列幾個(gè)命題：
①函數(shù)y=2x²+x+1在（0，+∞）上是增函數(shù)；
②函數(shù)y=

1

x+1

在（-∞，-1）∪（-1，+∞）上是減函數(shù)；
③函數(shù)y=

5+4x-x2

的單調(diào)區(qū)間是[-2，+∞）；
④已知f（x）在R上是增函數(shù)，若a+b＞0，則有f（a）+f（b）＞f（-a）+f（-b）．
其中正確命題的序號(hào)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,簡易邏輯

分析：對(duì)于①，直接由二次函數(shù)的單調(diào)性加以判斷；
對(duì)于②，錯(cuò)誤在于兩個(gè)減區(qū)間取了并集；
對(duì)于③，先求出函數(shù)的定義域，再結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性求單調(diào)區(qū)間；
對(duì)于④，直接利用增函數(shù)的定義判斷．

解答： 解：對(duì)于①，函數(shù)y=2x²+x+1對(duì)應(yīng)的圖象是開口向上的拋物線，且對(duì)稱軸方程為x=-

1

4

，
∴函數(shù)y=2x²+x+1在（0，+∞）上是增函數(shù)．命題①正確；
對(duì)于②，函數(shù)y=

1

x+1

的圖象是把y=

1

x

的圖象向左平移1個(gè)單位得到的，
而y=

1

x

的減區(qū)間是（-∞，0），（0，+∞），
∴函數(shù)y=

1

x+1

在（-∞，-1），（-1，+∞）上是減函數(shù)．命題②錯(cuò)誤；
對(duì)于③，由5+4x-x²≥0，得：-1≤x≤5．
函數(shù)g（x）=-x²+4x+5對(duì)應(yīng)的圖象開口向下，且對(duì)稱軸方程為x=2．
∴函數(shù)y=

5+4x-x2

的單調(diào)增區(qū)間是[-1，2]，減區(qū)間是（2，5]．命題③錯(cuò)誤；
對(duì)于④，∵a+b＞0，
∴a＞-b，b＞-a．
又f（x）在R上是增函數(shù)，
∴f（a）＞f（-b），f（b）＞f（-a）．
則f（a）+f（b）＞f（-a）+f（-b）．命題④正確．
故答案為①④

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了二次函數(shù)的單調(diào)性，是中檔題．