【題目】已知函數(shù),,其中.
(1)若函數(shù)的圖象均在軸上方,求的取值范圍;
(2)記為函數(shù)在上的零點,若存在唯一的,使得,且,求的取值范圍.
【答案】(1);(2).
【解析】
(1)由題意可知,不等式對任意的恒成立,利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值,可得出關(guān)于實數(shù)的不等式,即可求得實數(shù)的取值范圍;
(2)先利用“為函數(shù)在上的零點”得到的取值范圍,并得到結(jié)論,然后利用另一個條件,再次得到的取值范圍,其中涉及隱零點問題,最后綜合兩次所得的取值范圍求出結(jié)果.
(1)由題意可得不等式對任意的恒成立,則,
,則,令,列表如下:
極小值 |
所以,函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為.
所以,函數(shù)的最小值為,
由題意可得,解得,
因此,實數(shù)的取值范圍是;
(2)由(1)可知,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,
因為為函數(shù)在上的零點,所以,,①
且有,解得.
,,
令,則,
,,函數(shù)單調(diào)遞增,即函數(shù)單調(diào)遞增,
而,,
所以,存在,使得,即,②
當(dāng)時,,此時,函數(shù)單調(diào)遞減;
當(dāng)時,,此時,函數(shù)單調(diào)遞增.
所以,函數(shù)在區(qū)間上的最小值為,
由①②得,所以,,
所以,在上恒成立,
又因為存在唯一的,使得且,則,
所以,,解得.
,,因此,實數(shù)的取值范圍是.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】給出下列五個命題:
①函數(shù)在區(qū)間上存在零點;
②要得到函數(shù)的圖象,只需將函數(shù)的圖象向左平移個單位;
③若,則函數(shù)的值城為;
④“”是“函數(shù)在定義域上是奇函數(shù)”的充分不必要條件;
⑤已知為等差數(shù)列,若,且它的前項和有最大值,那么當(dāng)取得最小正值時,.
其中正確命題的序號是________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的前n項和為,且,,
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)若對,都有,求實數(shù)a的取值范圍;
(3)當(dāng)時,將數(shù)列中的部分項按原來的順序構(gòu)成數(shù)列且證明:存在無數(shù)個滿足條件的無窮等比數(shù)列.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】給定數(shù)列,若滿足(且),對于任意的,都有,則稱數(shù)列為“指數(shù)型數(shù)列”.
(1)已知數(shù)列的通項公式為,試判斷數(shù)列是不是“指數(shù)型數(shù)列”;
(2)已知數(shù)列滿足,,證明數(shù)列為等比數(shù)列,并判斷數(shù)列是否為“指數(shù)型數(shù)列”,若是給出證明,若不是說明理由;
(3)若數(shù)列是“指數(shù)型數(shù)列”,且,證明數(shù)列中任意三項都不能構(gòu)成等差數(shù)列.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓,點,點在圓上運動,的垂直平分線交于點.
(1)求證:為定值及動點的軌跡的方程;
(2)不在軸上的點為上任意一點,與關(guān)于原點對稱,直線交于另外一點.求證:直線與直線的斜率的乘積為定值,并求出該定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】橢圓的長軸是短軸的兩倍,點在橢圓上.不過原點的直線與橢圓相交于、兩點,設(shè)直線、、的斜率分別為、、,且、、恰好構(gòu)成等比數(shù)列,
(1)求橢圓的方程;
(2)試判斷是否為定值?若是,求出這個值;若不是,請說明理由?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】世界讀書日又稱“世界圖書日”,設(shè)立的目的是希望世界各地的人,無論你是年老還是年輕,都能享受閱讀的樂趣,都能尊重和感謝為人類文明做出巨大貢獻的文學(xué)、文化、科學(xué)、思想大師們,都能保護知識產(chǎn)權(quán).某單位共有600人,其年齡與人數(shù)分布表如下:
年齡段 | ||||
人數(shù)(單位:人) | 150 | 210 | 180 | 60 |
約定:年齡在為青年人,在為中老年人.今年年初,該單位開展“每天閱讀1小時”活動,為了了解員工閱讀1小時是否與年齡相關(guān),一個月后按照分層抽樣抽取30人進行調(diào)查.
(1)抽出的青年人與中老年人數(shù)量分別為多少?并估算單位這600人的平均年齡;
(2)若所抽取出的青年人與中老年人中分別有6人和7人平均每天閱讀達1小時,其余人都沒達1小時.完成下列2×2列聯(lián)表,并回答能否由90%的把握認為年齡與閱讀達1小時有關(guān)?
閱讀達1小時 | 閱讀沒達1小時 | 總計 | |
青年 | 6 | ||
中年 | 7 | ||
總計 | 30 |
參考公式:
臨界值表:
0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“紋樣”是中國藝術(shù)寶庫的瑰寶,“火紋”是常見的一種傳統(tǒng)紋樣,為了測算某火紋紋樣(如圖陰影部分所示)的面積,作一個邊長為3的正方形將其包含在內(nèi),并向該正方形內(nèi)隨機投擲2000個點,己知恰有800個點落在陰影部分,據(jù)此可估計陰影部分的面積是
A.B.C.D.
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