Question

已知函數(shù)f（x）=ln（2-x）+ax，a＞0，a∈R．
（1）設(shè)曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線l平行于x軸，求a的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）求函數(shù)f（x）的區(qū)間[0，1]上的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)切線平行于x軸，得到切線斜率k=f′（1）=a-1=0，即可求出a．
（2）先對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系即可求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（3）討論a的取值范圍，利用函數(shù)的單調(diào)性即可求出函數(shù)f（x）的最小值．

解答： 解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?∞，2），f′（x）=a+

1

x-2

，
把x=1代入f（x）得：f（1）=a，則切點(diǎn)坐標(biāo)為（1，a），
把x=1代入導(dǎo)函數(shù)中得：f′（1）=a-1，則切線的斜率k=f′（1）=a-1，
∵y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線l平行于x軸
∴切線斜率k=f′（1）=a-1=0，解得a=1．
（2）由2-x＞0，解得x＜2，得到f（x）的定義域?yàn)椋?∞，2），
當(dāng)a＞0時(shí)，f′（x）=a+

1

x-2

，
由f′（x）＞0得a+

1

x-2

＞0，解得x＜2-

1

a

，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，2-

1

a

）．
由f′（x）=a+

1

x-2

＜0，
解得2-

1

a

＜x＜2，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
∴函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為（2-

1

a

，2）．
（3）①當(dāng)2-

1

a

≤0，即0＜a≤

1

2

時(shí)，f（x）在[0，1]上單調(diào)遞減，∴f_min（x）=f（1）=a．
②當(dāng)0＜2-

1

a

≤1，即

1

2

＜a≤1時(shí)，f（x）在[0，2-

1

a

）上單調(diào)遞增，在（2-

1

a

，1]上單調(diào)遞減，
∵f（0）=ln2，f（1）=a，e

1

2

＜3

1

2

＜2＜e，
∴

1

2

＜ln

3

＜ln2＜lne=1，
即當(dāng)

1

2

＜a＜ln2時(shí)，f_min（x）=f（1）=a．
當(dāng)ln2≤a＜1時(shí)，f_min（x）=f（0）=ln2．
③當(dāng)2-

1

a

≥1，即a≥1時(shí)，f（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，
∴f_min（x）=f（0）=ln2．
綜上：當(dāng)0＜a＜ln2時(shí)，f_min（x）=a．
當(dāng)a≥ln2時(shí)，f_min（x）=ln2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，以及利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)函數(shù)的最值問題，要對(duì)參數(shù)a進(jìn)行分類討論．