Question

設(shè)正實(shí)數(shù)x，y，z滿足x²-3xy+4y²-z=0，則當(dāng)

z

xy

取得最小值時(shí)，x+2y-z的最大值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式

專題：綜合題

分析：將z=x²-3xy+4y²代入

z

xy

，利用基本不等式化簡即可得到當(dāng)

z

xy

取得最小值時(shí)的條件，用x，z表示y后利用配方法求得x+2y-z的最大值．

解答： 解：∵x²-3xy+4y²-z=0，
∴z=x²-3xy+4y²，又x，y，z為正實(shí)數(shù)，
∴

z

xy

=

x

y

+

4y

x

-3≥2

x y • 4y x

-3=1（當(dāng)且僅當(dāng)x=2y時(shí)取“=”），
即x=2y（y＞0），
∴x+2y-z=2y+2y-（x²-3xy+4y²）
=4y-2y²
=-2（y-1）²+2≤2．
∴x+2y-z的最大值為2．
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查基本不等式，將z=x²-3xy+4y²代入

z

xy

，求得

z

xy

取得最小值時(shí)x=2y是關(guān)鍵，考查配方法求最值，屬于中檔題．