Question

19．若f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}x，0＜x≤1}\\{\frac{{x}^{2}+2}{2x}，x＞1}\end{array}\right.$，若方程f（x）=k（x-1）有兩個實根，則實數(shù)k的取值范圍是（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{ln2}$]．

Answer 1

分析 作函數(shù)圖象，結合圖象討論，由分段函數(shù)分別求在各段上解的個數(shù)，從而綜合討論即可．

解答 解：∵方程f（x）=k（x-1）有兩個實根，
∴函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}x，0＜x≤1}\\{\frac{{x}^{2}+2}{2x}，x＞1}\end{array}\right.$與y=k（x-1）的圖象有兩個不同的交點，
作其圖象如右圖，
當x＞1時，方程f（x）=k（x-1）可化為k=$\frac{{x}^{2}+2}{2x（x-1）}$，
令F（x）=$\frac{{x}^{2}+2}{2x（x-1）}$，則F′（x）=$\frac{{x}^{2}+2}{2x（x-1）}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{-（x+2）^{2}+6}{{x}^{2}（x-1）^{2}}$＜0，
∴F（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減；
又∵$\underset{lim}{x→+∞}$$\frac{{x}^{2}+2}{2x（x-1）}$=$\frac{1}{2}$，
∴當k＞$\frac{1}{2}$時，方程f（x）=k（x-1）在（1，+∞）上有一個解，
當k$≤\frac{1}{2}$時，方程f（x）=k（x-1）在（1，+∞）上無解；
當點（1，0）是y=log₂x的切點時，y′=$\frac{1}{ln2}$；
故當k＞$\frac{1}{ln2}$時，直線y=k（x-1）與y=log₂x在（0，1]上有兩個交點，
當k≤$\frac{1}{ln2}$時，直線y=k（x-1）與y=log₂x在（0，1]上有一個交點（1，0），
結合討論可知，
當k∈（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{ln2}$]時，方程f（x）=k（x-1）有兩個實根，
故答案為：（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{ln2}$]．

點評 本題考查了導數(shù)的綜合應用及數(shù)形結合的思想應用，同時考查了分類討論的思想．