Question

19．命題p：在f（x）=-x²+2ax+1-a，x∈[0，1]時的最大值不超過2，命題q：正數(shù)x，y滿足x+2y=8，且a≤$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{y}$恒成立．若p∨￢q為假命題，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 先求出關(guān)于p，q為真時的a的范圍，根據(jù)p∨￢q為假命題，得到p假q真，得到關(guān)于a的不等式組，解出即可．

解答 解：關(guān)于命題p：f（x）=-x²+2ax+1-a，
函數(shù)f（x）的對稱軸是：x=a，
①a≥1時：f（x）在[0，1]遞增，f（x）_max=f（1）=-1+2a+1-a=a≤2，故1≤a≤2；
②0＜a＜1時：f（x）在（0，a）遞增，在（a，1）遞減，
∴f（x）_max=f（a）=a²-a+1≤2，解得：$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$≤a≤$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，
∴0＜a＜1；
③a≤0時：f（x）在[0，1]遞減，
∴f（x）_max=f（0）=1-a≤2，解得：a≥-1，即-1≤a≤0；
綜合①②③得：a∈[-1，2]；
命題q：正數(shù)x，y滿足x+2y=8，則$\frac{x}{8}$+$\frac{y}{4}$=1，
∴$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{y}$=（$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{y}$）（$\frac{x}{8}$+$\frac{y}{4}$）=$\frac{1}{2}$+$\frac{y}{2x}$+$\frac{x}{8y}$≥$\frac{1}{2}$+2$\sqrt{\frac{y}{2x}•\frac{x}{8y}}$=1，
∴a≤1，即a∈（-∞，1]；
若p∨￢q為假命題，則p假q真                                           
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＜-1或a＞2}\\{a≤1}\end{array}\right.$，解得：a＜-1．

點評 本題考查了復(fù)合命題的判斷，考查二次函數(shù)的最值問題，基本不等式的應(yīng)用，是一道中檔題．