Question

如圖，在多面體ABCDEF中，底面ABCD是邊長為2的正方形，四邊形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF=3，G和H分別是CE和CF的中點．
（Ⅰ）求證：AC⊥平面BDEF；
（Ⅱ）求證：平面BDGH∥平面AEF；
（Ⅲ）求多面體ABCDEF的體積．

Answer 1

考點：組合幾何體的面積、體積問題,平面與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（I）由面面垂直的性質(zhì)可證AC與平面BDEF垂直；
（II）利用線線平行證明GH∥平面AEF，OH∥平面AEF．由面面平行的判定定理可證面面平行；
（III）把多面體分割成四棱錐A-BDEF和四棱錐C-BDEF，分別求出體積，再求和．

解答： 解：（Ⅰ）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD．
又∵平面BDEF⊥平面ABCD，平面BDEF∩平面ABCD=BD，
且AC?平面ABCD，
∴AC⊥平面BDEF；
（Ⅱ）證明：在△CEF中，
∵G、H分別是CE、CF的中點，
∴GH∥EF，
又∵GH?平面AEF，EF?平面AEF，
∴GH∥平面AEF，
設(shè)AC∩BD=O，連接OH，在△ACF中，
∵OA=OC，CH=HF，
∴OH∥AF，
又∵OH?平面AEF，AF?平面AEF，
∴OH∥平面AEF．
又∵OH∩GH=H，OH、GH?平面BDGH，
∴平面BDGH∥平面AEF．
（Ⅲ）由（Ⅰ），得 AC⊥平面BDEF，
又∵AO=

2

，四邊形BDEF的面積S=3×2

2

=6

2

，
∴四棱錐A-BDEF的體積V₁=

1

3

×AO×S=4，
同理，四棱錐C-BDEF的體積V₂=4．
∴多面體ABCDEF的體積V=8．

點評：本題考查了面面垂直的性質(zhì)，面面平行的判定，考查了用分割法求多面體的體積，考查了學(xué)生的空間想象能力與推理論證能力．