Question

已知向量

a

=（

3

cos

x

4

，cos²

x

4

），

b

=（2sin

x

4

，2），設(shè)函數(shù)f（x）=

a

•

b

．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a，b，c，且f（2B-

π

3

）=

3

+1，a=3，b=3

3

，求sinA的值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦定理的應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形

分析：（Ⅰ）利用向量的數(shù)量積公式，結(jié)合二倍角、輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)，即可求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）先求出sinB，再利用正弦定理求sinA的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵向量

a

=（

3

cos

x

4

，cos²

x

4

），

b

=（2sin

x

4

，2），函數(shù)f（x）=

a

•

b

，
∴f（x）=2

3

cos

x

4

2sin

x

4

+2cos²

x

4

=

3

sin

x

2

+cos

x

2

+1=2sin（

x

2

+

π

6

）+1，
∴T=

2π

1 2

=4π；
（Ⅱ）∵f（2B-

π

3

）=

3

+1，
∴2sinB+1=

3

+1，
∴sinB=

3

2

，
∵a=3，b=3

3

，
∴由正弦定理可得sinA=

asinB

b

=

3× 3 2

3 3

=

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量的數(shù)量積公式，考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)，考查正弦定理的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，正確化簡(jiǎn)函數(shù)是關(guān)鍵．