Question

設(shè)f（2^x）=x²+bx+c（b，c∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）當(dāng)x∈(0，

1

4

]∪[4，+∞)，恒有f（x）≥0，且f（x）在區(qū)間（4，8]上的最大值為1，求b的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）用換元法求f（x）的解析式，設(shè)2^x=t，求出x，代入f（2^x）的解析式，即得所求；
（2）把已知條件轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)f（m）=m²+bm+c，當(dāng)|m|≥2時(shí)，f（m）≥0，且f（m）在區(qū)間（2，3]上的最大值為1，求b的取值范圍．

解答： 解：（1）∵f（2^x）=x²+bx+c，設(shè)2^x=t（t＞0），則x=log₂t，
∴f(t)=(log2t)2+b(log2t)+c，
∴f(x)=(log2x)2+b(log2x)+c(x＞0)；
（2）當(dāng)x∈(0，

1

4

]∪[4，+∞)，log₂x∈（-∞，-2]∪[2，+∞），
當(dāng)x∈（4，8]，log₂x∈（2，3]，已知條件轉(zhuǎn)化為：
f（m）=m²+bm+c，當(dāng)|m|≥2時(shí)，f（m）≥0，且f（m）在區(qū)間（2，3]上的最大值為1．
首先：函數(shù)圖象為開(kāi)口向上的拋物線，且f（m）在區(qū)間（2，3]上的最大值為1．
故有f（2）≤f（3）=1，從而b≥-5且c=-3b-8．
其次：當(dāng)|m|≥2時(shí)，f（m）≥0，有兩種情形：
Ⅰ）若f（m）=0有實(shí)根，則△=b²-4c≥0，
且在區(qū)間[-2，2]有

f(-2)≥0 f(2)≥0 -2≤ b 2 ≤2

，即

4-2b+c≥0 4+2b+c≥0 -4≤b≤4

，消去c，解出

b≤- 4 5 b≤-4 -4≤b≤4

；
即b=-4，此時(shí)c=4，且△=0，滿足題意．
Ⅱ）若f（m）=0無(wú)實(shí)根，則△=b²-4c＜0，將c=-3b-8代入解得-8＜b＜-4．
綜上Ⅰ）Ⅱ）得：b的取值范圍是{b|-5≤b≤-4}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了求函數(shù)的解析式以及二次函數(shù)在某一區(qū)間上的最值問(wèn)題，是易錯(cuò)題．