Question

6．已知函數(shù)f（x）=$\frac{2{x}^{2}}{x+1}$，函數(shù)g（x）=asin（$\frac{π}{6}$x）-2a+2（a＞0），若存在x₁∈[0，1]，對(duì)任意x₂∈[0，1]都有f（x₁）=g（x₂）成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （$\frac{1}{2}$，1]
• B． [$\frac{2}{3}$，1）
• C． [$\frac{2}{3}$，1]
• D． [$\frac{2}{3}$，2]

Answer 1

分析 由條件可得f（x₁）∈[0，1]，g（x₂）∈[2-2a，2-$\frac{3}{2}$a]．若存在x₁∈[0，1]，對(duì)任意x₂∈[0，1]都有f（x₁）=g（x₂）成立，所以$\left\{\begin{array}{l}2-\frac{3}{2}a≤1\\ 2-2a≥0\end{array}\right.$，解得a的范圍．

解答 解：因?yàn)閒（x）=$\frac{2{x}^{2}}{x+1}$，所以當(dāng)x₁∈[0，1]時(shí)，f（x₁）∈[0，1]．
因?yàn)閤₂∈[0，1]，所以$\frac{π}{6}$x₂∈[0，$\frac{π}{6}$]，又a＞0，所以asin（$\frac{π}{6}$x₂）∈[0，$\frac{1}{2}$a]，
所以g（x₂）∈[2-2a，2-$\frac{3}{2}$a]．
因?yàn)槿舸嬖趚₁∈[0，1]，對(duì)任意x₂∈[0，1]都有f（x₁）=g（x₂）成立，
所以$\left\{\begin{array}{l}2-\frac{3}{2}a≤1\\ 2-2a≥0\end{array}\right.$，解得a∈[$\frac{2}{3}$，1]，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查求函數(shù)的值域，正弦函數(shù)的定義域和值域，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．