Question

如圖所示，在菱形ABCD中，對角線AC，BD交于E點，F(xiàn)，G分別為AD，BC的中點，AB=2，∠DAB=60°，沿對角線BD將△ABD折起，使得AC=

6

．
（1）求證：平面ABD⊥平面BCD；
（2）求二面角F-DG-C的余弦值．

Answer 1

考點：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,平面與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）證明AE⊥平面BCD，即可證明平面ABD⊥平面BCD；
（2）建立以E為原點，EC為x軸，ED為y軸，EA為z軸的空間直角坐標系E-xyz，求出平面CDG的法向量、平面FDG的一個法向量，利用向量的夾角公式，即可求二面角F-DG-C的余弦值．

解答： （1）證明；在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，∴△ABD，△CBD為等邊三角形，
∵E是BD的中點，∴AE⊥BD，AE=CE=

3

，
∵AC=

6

，∴AE²+CE²=AC²，
∴AE⊥EC，∴AE⊥平面BCD，
又∵AE?平面ABD，∴平面ABD⊥平面BCD；
（2）解：由（1）可知建立以E為原點，EC為x軸，ED為y軸，EA為z軸的空間直角坐標系E-xyz，
則D（0，1，0），C（

3

，0，0），F(xiàn)（0，

1

2

，

3

2

）G（-

3

2

，1，

3

2

），
平面CDG的一個法向量

m

=（0，0，1），
設(shè)平面FDG的法向量

n

=（x，y，z），

DF

=（0，-

1

2

，

3

2

），

GF

=（-

3

2

，1，

3

2

）
∴

n • DF =0 n • GF =0

，即

- 1 2 y+ 3 2 z=0 - 3 2 x+y+ 3 2 z=0

，令z=1，得x=3，y=

3

，
故平面FDG的一個法向量

n

=（3，

3

，1），
∴cos＜

m

•

n

＞=

m • n

| m || n |

=

13

13

，
∴二面角F-DG-C的余弦值為-

13

13

．

點評：本題考查平面垂直，考查平面與平面所成的角，考查向量知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．