Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-ax（a為常數(shù)）的圖象與y軸交于點A，曲線y=f（x）在點A處的切線斜率為-1．
（Ⅰ）求a的值及函數(shù)f（x）的極值
（Ⅱ）證明：當(dāng)x＞0時，x²＜e^x．
（Ⅲ）證明：對任意給定的正數(shù)c，總存在x₀，使得當(dāng)x∈（x₀，+∞），恒有x²＜ce^x．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得a，再利用導(dǎo)數(shù)的符號變化可求得函數(shù)的極值；
（Ⅱ）構(gòu)造函數(shù)g（x）=e^x-x²，求出導(dǎo)數(shù)，利用（Ⅰ）問結(jié)論可得到函數(shù)的符號，從而判斷g（x）的單調(diào)性，即可得出結(jié)論；
（Ⅲ）令x₀=

4

c

，利用（Ⅱ）的結(jié)論，即得結(jié)論成立．

解答： 解：（Ⅰ）由f（x）=e^x-ax得f′（x）=e^x-a．
又f′（0）=1-a=-1，∴a=2，
∴f（x）=e^x-2x，f′（x）=e^x-2．
由f′（x）=0得x=ln2，
當(dāng)x＜ln2時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x＞ln2時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；
∴當(dāng)x=ln2時，f（x）有極小值為f（ln2）=e^ln2-2ln2=2-ln4．
f（x）無極大值．
（Ⅱ）令g（x）=e^x-x²，則g′（x）=e^x-2x，
由（1）得，g′（x）=f（x）≥f（ln2）=e^ln2-2ln2=2-ln4＞0，即g′（x）＞0，
∴當(dāng)x＞0時，g（x）＞g（0）＞0，即x²＜e^x；
（ III）對任意給定的正數(shù)c，取x₀=

4

c

＞0，
由（ II）知，當(dāng)x＞0時，e^x＞x²，
∴ex=e

x

2

•e

x

2

＞(

x

2

)2•(

x

2

)2，
當(dāng)x＞x₀時，ex=e

x

2

•e

x

2

＞(

x

2

)2•(

x

2

)2＞

4

c

•(

x

2

)2=

x2

c

，
因此，對任意給定的正數(shù)c，總存在x₀，當(dāng)x∈（x₀，+∞）時，恒有x²＜ce^x．

點評：本題主要考查基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的運算及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、綜合性較強(qiáng)，難度較大．