Question

已知關(guān)于x的方程|x²-2x|+m=0（m≤0）的解集為M，則集合M中所有的元素的和的最大值為

 

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Answer 1

考點：其他不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：數(shù)形結(jié)合可得，函數(shù)y=|x²-2x|的圖象（紅線）和直線 y=-m（藍(lán)線）至多有4個交點，且這4個交點關(guān)于直線x=1對稱，此時，方程的解集M中所有的元素的和的最大值，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得集合M中所有的元素的和的最大值．

解答： 解：由題意可得方程即|x²-2x|=-m，故函數(shù)y=|x²-2x|的圖象（紅線）和直線 y=-m（藍(lán)線）有交點．
由于m≤0，∴-m≥0，如圖所示：
函數(shù)y=|x²-2x|的圖象（紅線）和直線 y=-m（藍(lán)線）至少有2個交點，且這兩個交點關(guān)于直線x=1對稱，
此時，方程的解集M中所有的元素的和的最小值為2．
函數(shù)y=|x²-2x|的圖象（紅線）和直線 y=-m（藍(lán)線）至多有4個交點，且這4個交點關(guān)于直線x=1對稱，
此時，方程的解集M中所有的元素的和的最大值為2+2=4，
故答案為：4．

點評：本題主要考查方程解的個數(shù)判斷，二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化以及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．