Question

以橢圓+y²=1(a>1)短軸的一個端點B(0,1)為直角頂點作橢圓的內接等腰直角三角形,問這樣的直角三角形是否存在?如果存在,請說明理由,并判斷最多能作出幾個這樣的三角形;如果不存在,請說明理由.

Answer 1

當1<a≤時,只能作出一個三角形;
當a>時,能作出三個三角形.

由題意可知直角邊BA、BC不可能垂直或平行于x軸.
故可設BC邊所在直線方程為y=kx+1(不妨設k<0),則BA邊所在直線方程為y=-x+1.
由消去y,得
(1+a²k²)x²+2a²kx=0.
解之,得x₁=0,x₂=-.
∴|BC|=|x₁-x₂|=.
用-代替上式中的k得|AB|=.
由|BC|=|BA|,得|k|(a²+k²)=1+a²k².
注意到k<0,得(k+1)［k²+(a²-1)k+1］="0.                                         " ①
當Δ=(a²-1)²-4<0,即1<a<時,①有唯一解k=-1;
當a=時,①化為(k+1)³=0有唯一解k=-1;
當a>3時,①有三個不同的解.
綜上所述:
當1<a≤時,只能作出一個三角形;
當a>時,能作出三個三角形.