已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率是
3
2
．
（1）若點(diǎn)P（2，1）在橢圓上，求橢圓的方程；
（2）若存在過(guò)點(diǎn)A（1，0）的直線l，使點(diǎn)C（2，0）關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在橢圓上，求橢圓的焦距的取值范圍．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題
專(zhuān)題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：（1）根據(jù)橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率是
3
2
，點(diǎn)P（2，1）在橢圓上，建立方程組，求出a，b，即可求橢圓的方程；
（2）求出C（2，0）關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為C′的坐標(biāo)，代入橢圓方程，可得b2k4+（2b2-4）k2+（b2-1）=0，設(shè)k2=t，因此原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的方程b2t2+（2b2-4）t+（b2-1）=0有正根，即可得出結(jié)論．
解答： 解：（1）∵橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率是
3
2
，點(diǎn)P（2，1）在橢圓上，
∴
a2-b2
a
=
3
2
4
a2
+
1
b2
=1
，
∴a2=8，b2=2，
∴橢圓的方程為
x2
8
+
y2
2
=1；
（2）依題意，直線l的斜率存在且不為0，則直線l的方程為：y=k（x-1）．
設(shè)點(diǎn)C（2，0）關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為C′（a，b），則
b
2
=k(
a+2
2
-1)
b
a-2
•k=-1
，
∴a=
2
k2+1
，b=
2k
k2+1
，
若點(diǎn)C′（a，b）在橢圓
x2
4b2
+
y2
b2
=1上，則
(
2
k2+1
)2
4b2
+
(
2k
k2+1
)2
b2
=1，
∴b2k4+（2b2-4）k2+（b2-1）=0，
設(shè)k2=t，因此原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的方程b2t2+（2b2-4）t+（b2-1）=0有正根．
①當(dāng)b2-1＜0時(shí)，方程一定有正根；
②當(dāng)b2-1≥0時(shí)，則有
(2b2-4)2-4b2(b2-1)≥0
2b2-4＜0
，
∴b2≤
4
3

∴綜上得0＜b≤
2
3
3
．
又橢圓的焦距為2c=2
3
b，
∴0＜2c≤4．
故橢圓的焦距的取值范圍是（0，4]
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的方程與性質(zhì)，考查點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知直線l與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn)（A，B不在同一支上），F(xiàn)1，F(xiàn)2為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，則F1，F(xiàn)2在（　�。�
A、以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線上
B、以A，B為焦點(diǎn)的橢圓上
C、以A，B為直徑兩端點(diǎn)的圓上
D、以上說(shuō)法均不正確

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=lnx-ax在點(diǎn)A（1，f（1））處的切線為l．
（1）當(dāng)切線l的斜率為2時(shí)，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）證明：無(wú)論a取何值，函數(shù)f（x）的圖象恒在直線l的下方（點(diǎn)A除外）；
（3）已知點(diǎn)Q（x0，f（x0）），且當(dāng)x0＞1時(shí)，直線QA的斜率恒小于2，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，焦距為2的橢圓E的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為A和B，且
AB
與
n
=（
2
，-1）共線．
（Ⅰ）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若直線y=kx+m與橢圓E有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，總使
OP
•
OQ
＜0，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E是棱AB上的動(dòng)點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：DA1⊥ED1；
（Ⅱ）若直線DA1與平面CED1成角為45°，求
AE
AB
的值；
（Ⅲ）寫(xiě)出點(diǎn)E到直線D1C距離的最大值及此時(shí)點(diǎn)E的位置（結(jié)論不要求證明）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且3Sn=4an-4．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)cn=log2a1+log2a2+…+log2an，Tn=
1
c1
+
1
c2
+…+
1
cn
，求使k
n•2n
n+1
≥(2n-9)Tn恒成立的實(shí)數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=an2+bn，且a1=1，a2=3．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）記bn=
1
anan+1
，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知正三棱柱ABC-A1B1C的底面邊長(zhǎng)為4cm，高為7cm，則當(dāng)一質(zhì)點(diǎn)自點(diǎn)A出發(fā)，沿著三棱柱的側(cè)面繞行兩周到達(dá)點(diǎn)A1的路程最短時(shí)，質(zhì)點(diǎn)沿著側(cè)面的前進(jìn)方向所在直線與底面ABC所成角的余弦值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=xsinx．
（1）判斷方程f（x）=1在（0，π）內(nèi)實(shí)根的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）在（0，+∞）內(nèi)的全部極值點(diǎn)按從小到大的順序排列為a1，a2，…an…，求證：
π
2
＜an+1-an＜π(n∈N*)．

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