Question

【題目】某校舉行運(yùn)動會，其中三級跳遠(yuǎn)的成績在8.0米（四舍五入，精確到0.1米）以上的進(jìn)入決賽，把所得數(shù)據(jù)進(jìn)行整理后，分成6組畫出頻率分布直方圖的一部分（如圖），已知從左到右前5個小組的頻率分別為0.04，0.10，0.14，0.28，0.30，第6小組的頻數(shù)是7．
（Ⅰ）求進(jìn)入決賽的人數(shù)；
（Ⅱ）若從該校學(xué)生（人數(shù)很多）中隨機(jī)抽取兩名，記X表示兩人中進(jìn)入決賽的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；
（Ⅲ）經(jīng)過多次測試后發(fā)現(xiàn)，甲成績均勻分布在8～10米之間，乙成績均勻分布在9.5～10.5米之間，現(xiàn)甲，乙各跳一次，求甲比乙遠(yuǎn)的概率．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）解：第6小組的頻率為1﹣（0.04+0.10+0.14+0.28+0.30）=0.14，

∴總?cè)藬?shù)為 （人）．

∴第4、5、6組成績均進(jìn)入決賽，人數(shù)為（0.28+0.30+0.14）×50=36（人）

即進(jìn)入決賽的人數(shù)為36．

（Ⅱ）由題意知X的可能取值為0，1，2，進(jìn)入決賽的概率為 ，

∴X～ ， ，

P（X=1）= ，

．

∴所求分布列為：

X	0	1	2
P

，兩人中進(jìn)入決賽的人數(shù)的數(shù)學(xué)期望為 ．

（Ⅲ）設(shè)甲、乙各跳一次的成績分別為x、y米，

則基本事件滿足的區(qū)域?yàn)椋? ，

事件A“甲比乙遠(yuǎn)的概率”滿足的區(qū)域?yàn)閤＞y，如圖所示．

∴由幾何概型P（A）= = ．

即甲比乙遠(yuǎn)的概率為 ．

【解析】（Ⅰ）由頻率分直方圖求出第6小組的頻率，從而求出總?cè)藬?shù)，進(jìn)而得到第4、5、6組成績均進(jìn)入決賽，由此能求出進(jìn)入決賽的人數(shù)．

（Ⅱ）由題意知X的可能取值為0，1，2，進(jìn)入決賽的概率為 ，從而X～ ，由此能求出X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

（Ⅲ）設(shè)甲、乙各跳一次的成績分別為x、y米，則基本事件滿足的區(qū)域?yàn)椋? ，由此利用幾何概型能求出甲比乙遠(yuǎn)的概率．

【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用頻率分布直方圖的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握頻率分布表和頻率分布直方圖，是對相同數(shù)據(jù)的兩種不同表達(dá)方式.用緊湊的表格改變數(shù)據(jù)的排列方式和構(gòu)成形式，可展示數(shù)據(jù)的分布情況.通過作圖既可以從數(shù)據(jù)中提取信息，又可以利用圖形傳遞信息．