Question

已知拋物線C的頂點為原點，其焦點F（0，c）（c＞0）到直線l：x-y-2=0的距離為

3 2

2

．
（1）求拋物線C的方程；
（2）已知A，B是拋物線C上的兩點，過A，B兩點分別作拋物線C的切線，兩條切線的交點為M，設線段AB的中點為N，證明：存在λ∈R，使得

MN

=λ

OF

；
（3）在（2）的條件下，若拋物線C的切線BM與y軸交于點R，直線AB兩點的連線過點F，試求△ABR面積的最小值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）利用點到直線的距離公式，求出c，即可求拋物線C的方程；
（2）利用點差法，求出M，N的橫坐標，即可得出結論；
（3）切線BM的方程為y-

t2

4

=

1

2

t(x-t)，可得R(0，-

t2

4

)，再求出A的坐標，可得△ABR面積，利用導數(shù)的方法，可求△ABR面積的最小值．

解答： 解：（1）由題，拋物線C的方程為x²=4cy（c＞0），則

|0-c-2|

2

=

3 2

2

，解得c=1，所以拋物線C的方程為x²=4y．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由y=

1

4

x2，則y′=

1

2

x，得直線kAM=

1

2

x1，kBM=

1

2

x2，
所以AM：y-y1=

1

2

x1(x-x1)，BM：y-y2=

1

2

x2(x-x2)，
兩式做差得：y2-y1=

1

2

x1(x-x1)-

1

2

x2(x-x2)
又因為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）都在拋物線C上，故y1=

1

4

x12，y2=

1

4

x22，
代入上式得：

1

4

x22-

1

4

x12=

1

2

x1(x-x1)-

1

2

x2(x-x2)⇒x=

1

2

(x1+x2)，
即M的橫坐標為xM=

1

2

(x1+x2)，
又N的橫坐標為xN=

1

2

(x1+x2)，
所以MN∥y軸，故

MN

與

OF

共線．
所以存在λ∈R，使得

MN

=λ

OF

．
（3）設B(t，

t2

4

)(t≠0)，則切線BM的方程為y-

t2

4

=

1

2

t(x-t)，可得R(0，-

t2

4

)．
直線BA：y=

t2-4

4t

x+1，
由

y= t2-4 4t x+1 4y=x2

⇒A(-

4

t

，

4

t2

)，
所以S△ABR=

1

2

|FR|•|xB-xA|=

1

2

|1+

t2

4

|•|t+

4

t

|=

1

2

|

1

4

t3+2t+

4

t

|
令f(t)=

1

4

t3+2t+

4

t

(t＞0)，則f′(t)=

3

4

t2+2-

4

t2

，令f'（t）=0得t=

2 3

3

，
當t∈(0，

2 3

3

)時，f'（t）＜0，當t∈(

2 3

3

，+∞)時，f'（t）＞0，
所以當t∈(0，

2 3

3

)時，f（t）單調遞減；當t∈(

2 3

3

，+∞)時，f（t）單調遞增．
故f(t)min=f(

2 3

3

)=

16 3

9

．
故△ABR面積的最小值為

16 3

9

．

點評：本題考查拋物線方程，考查點差法的運用，考查導數(shù)知識，綜合性強．