Question

已知Rt△ABC中（如圖1），AB⊥AC，AB=4，∠ACB=30°，AD⊥BC，沿AD折疊，使得折疊后∠BDC=90°，如圖2所示．
（1）求證：AD⊥平面BDC
（2）求三棱錐A-BDC的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定,棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由已知條件得AD⊥BD，AD⊥DC，由此能證明AD⊥平面BDC．
（2）由題設(shè)可得：BD=2，DC=6，AD=2

3

，由此能求出三棱錐A-BDC的體積．

解答： （1）證明：∵Rt△ABC中（如圖1），AB⊥AC，AB=4，∠ACB=30°，AD⊥BC，
沿AD折疊，使得折疊后∠BDC=90°，
∴AD⊥BD，AD⊥DC，…（4分）
又BD∩DC=D，
所以，AD⊥平面BDC…（6分）
（2）由題設(shè)可得：BD=2，DC=6，AD=2

3

，…（9分）
∴三棱錐A-BDC的體積為：
V=

1

3

×S△BDC×AD
=

1

3

×

1

2

×2×6×2

3

=4

3

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．