Question

若函數(shù)f（x）=

x

ax+b

（a≠0），f（2）=1，又方程f（x）=x有唯一解，則f（x）=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)f（x）=x的方程有唯一解，整理成x一元二次方程，求得a和b的關(guān)系，
再根據(jù)f（2）=1求得a和b的值，從而得出函數(shù)f（x）的解析式．

解答： 解：根據(jù)題意，
∵f（2）=1，∴

2

2a+b

=1，
化簡(jiǎn)得2a+b=2①；
又∵f（x）=x有唯一解，
即

x

ax+b

=x有唯一解，
∴方程ax²+（b-1）x=0（其中x≠-

b

a

）有唯一解，
或b=0（b=0時(shí)，方程有唯一解x=1）③；
∴△=（b-1）²=0，
∴b=1②；
由①②得a=

1

2

、b=1；
由①③得a=1、b=0；
此時(shí)方程有唯一的解，
∴f（x）=

2x

x+2

或1．
故答案為：

2x

x+2

或1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用問題，解題時(shí)應(yīng)根據(jù)方程根與判別式的情況進(jìn)行解答，是綜合題．