Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-ax²+bx+c（a，b，c∈R，e=2.718…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程為y=x+1．
（Ⅰ）求b與c的值；
（Ⅱ）當(dāng)a＞0時(shí)，若方程f（x）=0在（0，+∞）有唯一的實(shí)數(shù)解，求a的值；
（Ⅲ）當(dāng)a=2時(shí)，證明：函數(shù)f（x）在[0，3]上有且僅有兩個(gè)極值點(diǎn)，并求f（x）在[0，3]是的最大值．
（參考數(shù)據(jù)：e²≈7.39，e³≈20.09，e⁴≈54.60）

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)的定義，在某點(diǎn)的導(dǎo)函數(shù)值即為函數(shù)在該點(diǎn)處切線的斜率，列出方程解出b，c；
（2）利用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，方程f（x）=0在（0，+∞）有唯一的實(shí)數(shù)解，等價(jià)于方程a=

ex

x2

在（0，+∞）有唯一的實(shí)數(shù)解，構(gòu)造函數(shù)g（x）=

ex

x2

，x∈（0，+∞），求出單調(diào)性，利用數(shù)形結(jié)合，求出a的值；
（3）利用導(dǎo)數(shù)求出f（x）在[0，3]上的單調(diào)區(qū)間，即能證明僅有兩個(gè)極值點(diǎn)，和最大值．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=e^x-2ax+b，
∵曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程為y=x+1，
∴

f(0)=1 f′(0)=1

即

e0+c=1 e0+b=1

，解得

b=0 c=0

；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=e^x-ax²，
當(dāng)a＞0時(shí)，方程f（x）=0在（0，+∞）有唯一的實(shí)數(shù)解，
等價(jià)于方程a=

ex

x2

在（0，+∞）有唯一的實(shí)數(shù)解，
設(shè)g（x）=

ex

x2

，x∈（0，+∞）
則g′（x）=

x2ex-2xex

x4

=

ex(x-2)

x3

∴當(dāng)0＜x＜2時(shí)，g′（x）＜0，x＞2時(shí)，g′（x）＞0
∴函數(shù)g（x）=

ex

x2

在（0，2）上單調(diào)遞減，在（2，+∞）上單調(diào)遞增，
∴g（x）_min=g（2）=

e2

4

，
 
當(dāng)x＞0且x→0時(shí)，g（x）→+∞，當(dāng)x→+∞時(shí)，g（x）→+∞
∴當(dāng)a=

e2

4

時(shí)，方程f（x）=0在（0，+∞）有唯一的實(shí)數(shù)解；
（Ⅲ）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=ee^x-2x²，x∈[0，3]
設(shè)h（x）=f′（x）=e^x-4x，則h′（x）=e^x-4，x∈[0，3]
因?yàn)閔′（x）在[0，3]上是增函數(shù)，令h′（x）=e^x-4=0，得x₀=ln4
∴x∈（0，ln4）時(shí)，h′（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減，
x∈（ln4，3）時(shí)，h′（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增，
f′（x）_min=h（x）_min=h（ln4）=e^ln4-4ln4=4-4ln4＜0
且f′（0）=h（0）=1＞0，f′（3）=h（3）=e³-12＞0
∴存在x₁，x₂，x₁∈（0，ln4），x₂∈（ln4，3），使f′（x₁）=0，f′（x₂）=0
x∈（x₁，x₂），f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
x∈（x₂，3），f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞減，
∴函數(shù)y=f（x）在[0，3]上有且僅有兩個(gè)極值點(diǎn)，
∴函數(shù)y=f（x）在[0，3]上的最大值為f（x₁）和f（3）的較大者
f（3）=e³-18＞2，∵f′(x1)=ex1-4x1=0
f（x₁）=ex1-2x12=4x₁-2x₁²=-2（x₁-1）²+2≤2
故最大值為f（3）=e³-18．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的最值、單調(diào)性、零點(diǎn)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力、推理論證能力，考查函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法．屬于中檔題．