Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前項(xiàng)n和為S_n，若對于任意的正整數(shù)n都有S_n=2a_n-3n．
（1）設(shè)b_n=a_n+3，求證：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，并求出{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）求數(shù)列{a_n-n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出a₁=3，a_n=2a_n-1+3，從而得到a_n+3=2（a_n-1+3），a₁+3=6，由此能證明數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為6，公比為2的等比數(shù)列，進(jìn)而求出a_n=3•2ⁿ-3．
（2）由a_n-n=3•2ⁿ-3-n，能求出數(shù)列{a_n-n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： （1）證明：∵S_n=2a_n-3n，
∴a₁=S₁=2a₁-3，解得a₁=3，
n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1-3，
∴a_n=2a_n-1+3，
∴a_n+3=2（a_n-1+3），
又a₁+3=6，b_n=a_n+3，
∴數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為6，公比為2的等比數(shù)列，
∴a_n+3=6•2^n-1=3•2ⁿ，
∴a_n=3•2ⁿ-3．
（2）解：∵a_n-n=3•2ⁿ-3-n，
∴S_n=3×

2(1-2n)

1-2

-3n-

n(n+1)

2

=6•2ⁿ-

1

2

n2-

7

2

n-6．

點(diǎn)評：本題考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意構(gòu)造法的合理運(yùn)用．