Question

如圖，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB₁⊥BC，AB∥CD，BC⊥AB且AA₁=AB=AD=2，∠A₁AB=∠DAB=60°．
（1）求證：AB₁⊥平面A₁BC；
（2）求該四棱柱的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）證明AB₁⊥平面A₁BC，只需證明AB₁⊥A₁B，利用四邊形ABB₁A₁為菱形即可；
（2）A₁作A₁H⊥AB，垂足為H，則A₁H⊥平面ABCD，從而可求四棱柱的體積．

解答： （1）證明：在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，四邊形ABB₁A₁為平行四邊形，
∵AA₁=AB，
∴四邊形ABB₁A₁為菱形，
∴AB₁⊥A₁B，
∵AB₁⊥BC，A₁B∩BC=B，
∴AB₁⊥平面A₁BC，…（6分）
（2）解：∵BC⊥AB，BC⊥AB₁，∴BC⊥平面ABB₁A₁，
∴平面ABCD⊥平面ABB₁A₁
過A₁作A₁H⊥AB，垂足為H
∴A₁H⊥平面ABCD，…（8分）
∴V=

(1+2)• 3

2

•

3

=

9

2

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面垂直的證明，考查四棱柱的體積，考查學(xué)生分析解決問題的能力，難度中等．