Question

已知函數(shù)f（x）=2sinωxcosωx=2

3

sin²ωx-

3

（ω＞0）的最小正周期為π．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅱ）將函數(shù)f（x）的圖象向左平移

π

3

個(gè)單位，再向上平移a（a＞0）個(gè)單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象．若y=g（x）在區(qū)間[0，

π

4

]上的最大值與最小值的和為5，求a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）利用二倍角公式和兩角和公式對(duì)函數(shù)解析式化簡(jiǎn)整理，利用周期公式求得ω，則函數(shù)解析式可得，最后利用正弦函數(shù)單調(diào)性求得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．
（Ⅱ）根據(jù)圖象平移的法則求得函數(shù)g（x）的解析式，進(jìn)而根據(jù)x的范圍確定x+

π

3

的范圍，進(jìn)而根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)的最大和最小值的表達(dá)式，進(jìn)而求得a．

解答： 解：（Ⅰ）由題意得f（x）=2sinωxcosωx+2

3

sin²ωx-

3

=sin2ωx-

3

cos2ωx=2sin（2ωx-

π

3

）
由周期為π，得ω=

2π

T

=1．
得F（X）=2sin（2x-

π

3

），
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，得kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5π

12

，k∈Z
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]，k∈Z．
（Ⅱ）將函數(shù)f（x）的圖象向左平移

π

3

個(gè)單位，再向上平移a個(gè)單位，
得到g(x)=2sin(2x+

π

3

)+a，
因?yàn)?span id="op4onxr" class="MathJye">x∈[0，

π

4

]，2x+

π

3

∈[

π

3

，

5π

6

]，sin(2x+

π

3

)∈[

1

2

，1]，
所以g（x）∈[1+a，2+a]，
令1+a+2+a=5
得a=1

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角函數(shù)圖象與性質(zhì)，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用．綜合性強(qiáng)，是這幾年高考�？嫉念}型．