Question

如圖，⊙O在平面α內(nèi)，AB是⊙O的直徑，PA⊥平面α，C為圓周上不同于A、B的任意一點(diǎn)，M，N，Q分別是PA，PC，PB的中點(diǎn)．
（1）求證：MN∥平面α；
（2）求證：平面MNQ∥平面α；
（3）求證：BC⊥平面PAC．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定,平面與平面平行的判定

專題：證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由已知可證MN∥AC，又MN?α，AC?α，即可證明MN∥平面α．
（2）由（1）知MN∥平面α，同理可證NQ∥平面α．由MN?平面MNQ，NQ?平面MNQ，且MN∩NQ=N，即可證明平面MNQ∥平面α．
（3）由PA⊥平面α，BC?平面α，可證BC⊥PA，又由已知可證BC⊥AC，由PA∩AC=A，PA，AC?平面PAC，即可證明BC⊥平面PAC．

解答： （本小題滿分13分）
證明：（1）∵M(jìn)，N分別是PA，PC的中點(diǎn)，
∴MN∥AC．（1分）

又∵M(jìn)N?α，AC?α，（2分）
∴MN∥平面α．（4分）
（2）由（1）知MN∥平面α，（5分）
同理可證NQ∥平面α．（6分）
∵M(jìn)N?平面MNQ，NQ?平面MNQ，且MN∩NQ=N，（7分）
∴平面MNQ∥平面α．（8分）
（3）∵PA⊥平面α，BC?平面α，∴BC⊥PA．（10分）
又∵AB是⊙O的直徑，C為圓周上不同于A、B的任意一點(diǎn)，
∴BC⊥AC．（11分）
∵PA∩AC=A，PA，AC?平面PAC，（12分）
∴BC⊥平面PAC．（13分）

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定，直線與平面垂直的性質(zhì)，熟練掌握空間線線，線面垂直及平行的判定定理，性質(zhì)定理及幾何特征是解答此類問題的關(guān)鍵．