Question

【題目】已知函數(shù)f（x）＝lnx﹣sinx+ax（a＞0）．

（1）若a＝1，求證：當(dāng)x∈（1，）時(shí)，f（x）＜2x﹣1；

（2）若f（x）在（0，2π）上有且僅有1個(gè)極值點(diǎn)，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）（0，1）．

【解析】

（1）構(gòu)造函數(shù)g（x）＝f（x）﹣（2x﹣1），對(duì)其求導(dǎo)研究其在x單調(diào)性，即可證明結(jié)論；

（2）先對(duì)f（x）求導(dǎo)，然后把f（x）在（0，2π）上有且僅有1個(gè)極值點(diǎn)轉(zhuǎn)化為的零點(diǎn)問題，利用y（a＞0）與函數(shù)y＝cosx，x∈（0，）的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)求出a的取值范圍即可．

解：（1）證明：當(dāng)a＝1時(shí)，f（x）＝lnx﹣sinx+x，令g（x）＝f（x）﹣（2x﹣1）＝lnx﹣sinx﹣x+1，x，

則，∴g（x）在（1，）上單調(diào)遞減，

故g（x）＜g（1）＝﹣sin1＜0，所以f（x）＜2x﹣1；

（2）解：由題知，令，所以．

∵在（0，2π）上有且僅有1個(gè)極值點(diǎn)，

∴函數(shù)y（a＞0）與函數(shù)y＝cosx，x∈（0，）的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，

∴，即，

所以a的取值范圍為．