Question

【題目】為實現(xiàn)2020年全面建設(shè)小康社會，某地進行產(chǎn)業(yè)的升級改造.經(jīng)市場調(diào)研和科學研判，準備大規(guī)模生產(chǎn)某高科技產(chǎn)品的一個核心部件，目前只有甲、乙兩種設(shè)備可以獨立生產(chǎn)該部件.如圖是從甲設(shè)備生產(chǎn)的部件中隨機抽取400件，對其核心部件的尺寸x，進行統(tǒng)計整理的頻率分布直方圖.

根據(jù)行業(yè)質(zhì)量標準規(guī)定，該核心部件尺寸x滿足：|x﹣12|≤1為一級品，1＜|x﹣12|≤2為二級品，|x﹣12|＞2為三級品.

（Ⅰ）現(xiàn)根據(jù)頻率分布直方圖中的分組，用分層抽樣的方法先從這400件樣本中抽取40件產(chǎn)品，再從所抽取的40件產(chǎn)品中，抽取2件尺寸x∈[12，15]的產(chǎn)品，記ξ為這2件產(chǎn)品中尺寸x∈[14，15]的產(chǎn)品個數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學期望；

（Ⅱ）將甲設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品成箱包裝出售時，需要進行檢驗.已知每箱有100件產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的檢驗費用為50元.檢驗規(guī)定：若檢驗出三級品需更換為一級或二級品；若不檢驗，讓三級品進入買家，廠家需向買家每件支付200元補償.現(xiàn)從一箱產(chǎn)品中隨機抽檢了10件，結(jié)果發(fā)現(xiàn)有1件三級品.若將甲設(shè)備的樣本頻率作為總體的慨率，以廠家支付費用作為決策依據(jù)，問是否對該箱中剩余產(chǎn)品進行一一檢驗？請說明理由；

（Ⅲ）為加大升級力度，廠家需增購設(shè)備.已知這種產(chǎn)品的利潤如下：一級品的利潤為500元/件；二級品的利潤為400元/件；三級品的利潤為200元/件.乙種設(shè)備產(chǎn)品中一、二、三級品的概率分別是，，.若將甲設(shè)備的樣本頻率作為總體的概率，以廠家的利潤作為決策依據(jù).應選購哪種設(shè)備？請說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）分布列見解析，；（Ⅱ）不對剩余產(chǎn)品進行逐一檢驗，理由見解析；（Ⅲ）應選購乙設(shè)備，理由見解析.

【解析】

（I）利用頻率分布直方圖中的頻率（概率）求出尺寸在的產(chǎn)品件數(shù)，及在的產(chǎn)品件數(shù)，得ξ的可能取值為0，1，2，分別計算出概率得概率分布列，由分布列計算出期望；

（II）三級品的概率為（0.1+0.075）×1=0.175，計算對剩余產(chǎn)品逐一檢驗和對剩余產(chǎn)品不檢驗需支付的費用，比較后可得；

（III）利用頻率（概率）計算出兩種方案的利潤期望，比較可得．

（I）抽取的40件產(chǎn)品中，產(chǎn)品尺寸x∈[12，15]的件數(shù)為：40×[（0.2+0.175+0.075）×1]=18，

其中x∈[14，15]的產(chǎn)品件數(shù)為40×（0.075×1）=3，

∴ξ的可能取值為0，1，2，

∴P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），

∴ξ的分布列為：

∴Eξ＝012.

（II）三級品的概率為（0.1+0.075）×1=0.175，

若對剩余產(chǎn)品逐一檢驗，則廠家需支付費用50×100=5000；

若對剩余產(chǎn)品不檢驗，則廠家需支付費用50×10+200×90×0.175=3650，

∵5000＞3650，

故不對剩余產(chǎn)品進行逐一檢驗.

（III）設(shè)甲設(shè)備生產(chǎn)一件產(chǎn)品的利潤為y1，乙設(shè)備生產(chǎn)一件產(chǎn)品的利潤為y2，

則E（y1）=500×（0.3+0.2）+400×（0.150+0.175）+200×0.175=415，

E（y2）=500400200420.

∵E（y1）＜E（y2）.

∴應選購乙設(shè)備.