Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x²-alnx+bx
（1）若函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，e）上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)b的最大值；
（2）若f（x）＜0對任意的x∈（1，e），-2≤b≤-1都成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則可得：f′(x)=2x-

a

x

+b=

2x2+bx-a

x

．（x＞0）．由于函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，e）上單調(diào)遞減．可得f′（x）滿足在（0，1]上f′（x）≥0，在[1，e）上f′（x）≤0．即可求出b的最大值．
（2）由f（x）＜0即x²-alnx+bx＜0，可知：a＞

x2+bx

lnx

對任意的x∈（1，e），-2≤b≤-1都成立．
令g（b）=

x2+bx

lnx

=

x

lnx

b+

x2

lnx

．由于x∈（1，e），

x

lnx

＞0，利用一次函數(shù)的單調(diào)性可知：當(dāng)b取最大值-1時(shí)，g（b）取得最大值

x2-x

lnx

．于是可得a＞

x2-x

lnx

，x∈（1，e），化為alnx-x²+x＞0，x∈（1，e）．令h（x）=alnx-x²+x＞0，x∈（1，e），注意到h（1）=0．令h′（x）=

a

x

-2x+1≥0，再利用二次函數(shù)的單調(diào)性解出即可．

解答： 解：f′(x)=2x-

a

x

+b=

2x2+bx-a

x

．（x＞0）．
（1）∵函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，e）上單調(diào)遞減．
∴f′（x）滿足在（0，1]上f′（x）≥0，在[1，e）上f′（x）≤0．
∴f′（1）=2+b-a=0，即a=2+b．
可得2x²+bx-2-b=（2x+2+b）（x-1）．
∴在（0，1]上2x+2+b≤0，∴b≤（-2x-2）_min=-4．
在[1，e）上2x+2+b≥0．∴b≥（-2x-2）_max=-4．
∴實(shí)數(shù)b的最大值是-4．
（2）由f（x）＜0即x²-alnx+bx＜0，
∴a＞

x2+bx

lnx

對任意的x∈（1，e），-2≤b≤-1都成立．
令g（b）=

x2+bx

lnx

=

x

lnx

b+

x2

lnx

．
由于x∈（1，e），∴

x

lnx

＞0，
因此當(dāng)b取最大值-1時(shí)，g（b）取得最大值

x2-x

lnx

．
∴a＞

x2-x

lnx

，x∈（1，e），
化為alnx-x²+x＞0，x∈（1，e）．
令h（x）=alnx-x²+x＞0，x∈（1，e），可知h（1）=0．
由h′（x）=

a

x

-2x+1≥0，可得a≥2x²-x=2(x-

1

4

)2-

1

8

，
由二次函數(shù)的單調(diào)性可知：當(dāng)x=e時(shí)，2x²-x取得最大值2e²-e，
∴a≥2e²-e．

點(diǎn)評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了變量分化、轉(zhuǎn)變主元、逐個(gè)解決的方法，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．