Question

已知數(shù)列{a_n}是公差不為零的等差數(shù)列，數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列．
（1）若c_n=（a_n+1-a_n）b_n（n∈N^*），求證：{c_n}為等比數(shù)列；
（2）設(shè)c_n=a_nb_n（n∈N^*），其中a_n是公差為2的整數(shù)項數(shù)列，b_n=(

12

13

)n，若c₅＞2c₄＞4c₃＞8c₂＞16c₁，且當(dāng)n≥17時，{c_n}是遞減數(shù)列，求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）若數(shù)列{c_n}使得{

anbn

cn

}是等比數(shù)列，數(shù)列{d_n}的前n項和為

an-cn

cn

，且數(shù)列{d_n}滿足：對任意n≥2，n∈N^*，或者d_n=0恒成立或者存在正常數(shù)M，使

1

M

＜|d_n|＜M恒成立，求證：數(shù)列{c_n}為等差數(shù)列．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合,等差數(shù)列的通項公式,等比數(shù)列的通項公式

專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差d≠0，等比數(shù)列{b_n}的公比q≠0，由于c_n=（a_n+1-a_n）b_n=db_n，即可證明

cn+1

cn

為非0常數(shù)；
（2））由于a_n是公差為2的整數(shù)項數(shù)列，可得a_n=a₁+2（n-1）∈Z．利用c_n=a_nb_n（n∈N^*），b_n=(

12

13

)n，可得cn=(a1+2n-2)•(

12

13

)n．利用c₅＞2c₄＞4c₃＞8c₂＞16c₁，可得：a1＜-

30

7

．又當(dāng)n≥17時，{c_n}是遞減數(shù)列，可得c_n＞c_n+1，得到a₁＞26-2n，因此a₁＞26-2×17=-8．可得：-8＜a1＜-

30

7

，又a₁∈Z，可得a₁=-7，-6，-5．
即可得出a_n．
（3））（i）n≥2，當(dāng)d_n=0恒成立時，數(shù)列{d_n}的前n項和為

an-cn

cn

=0，c_n=a_n，利用數(shù)列{a_n}是公差不為零的等差數(shù)列，即可得出結(jié)論．
（ii）n≥2，d_n=

an-cn

cn

-

an-1-cn-1

cn-1

=

an

cn

-

an-1

cn-1

．由數(shù)列{c_n}使得{

anbn

cn

}是等比數(shù)列，可得

anbn

cn

×

cn-1

an-1bn-1

=k為常數(shù)，

an

cn

=s•

an-1

cn-1

（s為非0常數(shù)），得到d_n=t•

an

cn

．
由于n≥2，存在正常數(shù)M，使

1

M

＜|d_n|＜M恒成立．可得n≥2，存在正常數(shù)M，使

1

M

＜|

tan

cn

|＜M恒成立，于是存在常數(shù)p使得c_n=pa_n，而數(shù)列{a_n}是公差不為零的等差數(shù)列，∴此時數(shù)列{c_n}也是等差數(shù)列．

解答： 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差d≠0，等比數(shù)列{b_n}的公比q≠0，
∵c_n=（a_n+1-a_n）b_n=db_n，
則

cn+1

cn

=

dbn+1

dbn

=q≠0，
因此{(lán)c_n}為等比數(shù)列；
（2）∵a_n是公差為2的整數(shù)項數(shù)列，∴a_n=a₁+2（n-1）∈Z．
∵c_n=a_nb_n（n∈N^*），b_n=(

12

13

)n，
∴cn=(a1+2n-2)•(

12

13

)n．
∵c₅＞2c₄＞4c₃＞8c₂＞16c₁，
∴由c₅＞2c₄可得，(a1+8)•(

12

13

)5＞2×(a1+6)•(

12

13

)4，解得a1＜-

30

7

，
同理可得a1＜-

16

7

，a₁＜-

2

7

，a1＜

12

7

．
綜上可得：a1＜-

30

7

．
又當(dāng)n≥17時，{c_n}是遞減數(shù)列，
∴c_n＞c_n+1，
∴(a1+2n-2)•(

12

13

)n＞(a1+2n)•(

12

13

)n+1，
化為a₁＞26-2n，
∴a₁＞26-2×17=-8．
綜上可得：-8＜a1＜-

30

7

，
又a₁∈Z，∴a₁=-7，-6，-5．
∴a_n=2n-9，或2n-8，或2n-7．
（3）（i）n≥2，當(dāng)d_n=0恒成立時，數(shù)列{d_n}的前n項和為

an-cn

cn

=0，c_n=a_n，
∵數(shù)列{a_n}是公差不為零的等差數(shù)列，∴此時數(shù)列{c_n}也是等差數(shù)列．
（ii）∵當(dāng)n≥2時，d_n=

an-cn

cn

-

an-1-cn-1

cn-1

=

an

cn

-

an-1

cn-1

．
∵存在數(shù)列{c_n}使得{

anbn

cn

}是等比數(shù)列，
∴

anbn

cn

×

cn-1

an-1bn-1

=k為常數(shù)，
∴

an

cn

=s•

an-1

cn-1

（s為非0常數(shù)），∴d_n=t•

an

cn

．
∵n≥2，存在正常數(shù)M，使

1

M

＜|d_n|＜M恒成立，
∴n≥2，存在正常數(shù)M，使

1

M

＜|

tan

cn

|＜M恒成立，
∴存在常數(shù)p使得c_n=pa_n，而數(shù)列{a_n}是公差不為零的等差數(shù)列，∴此時數(shù)列{c_n}也是等差數(shù)列．

點評：本題綜合考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義、通項公式及其性質(zhì)，考查了推理能力和計算能力，考查了靈活解決問題的能力，屬于難題．