已知數(shù)列{an}是公差不為零的等差數(shù)列，數(shù)列{bn}是等比數(shù)列．
（1）若cn=（an+1-an）bn（n∈N*），求證：{cn}為等比數(shù)列；
（2）設(shè)cn=anbn（n∈N*），其中an是公差為2的整數(shù)項(xiàng)數(shù)列，bn=(
12
13
)n，若c5＞2c4＞4c3＞8c2＞16c1，且當(dāng)n≥17時(shí)，{cn}是遞減數(shù)列，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（3）若數(shù)列{cn}使得{
anbn
cn
}是等比數(shù)列，數(shù)列{dn}的前n項(xiàng)和為
an-cn
cn
，且數(shù)列{dn}滿足：對(duì)任意n≥2，n∈N*，或者dn=0恒成立或者存在正常數(shù)M，使
1
M
＜|dn|＜M恒成立，求證：數(shù)列{cn}為等差數(shù)列．
考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,等比數(shù)列的通項(xiàng)公式
專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法
分析：（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差d≠0，等比數(shù)列{bn}的公比q≠0，由于cn=（an+1-an）bn=dbn，即可證明
cn+1
cn
為非0常數(shù)；
（2））由于an是公差為2的整數(shù)項(xiàng)數(shù)列，可得an=a1+2（n-1）∈Z．利用cn=anbn（n∈N*），bn=(
12
13
)n，可得cn=(a1+2n-2)•(
12
13
)n．利用c5＞2c4＞4c3＞8c2＞16c1，可得：a1＜-
30
7
．又當(dāng)n≥17時(shí)，{cn}是遞減數(shù)列，可得cn＞cn+1，得到a1＞26-2n，因此a1＞26-2×17=-8．可得：-8＜a1＜-
30
7
，又a1∈Z，可得a1=-7，-6，-5．
即可得出an．
（3））（i）n≥2，當(dāng)dn=0恒成立時(shí)，數(shù)列{dn}的前n項(xiàng)和為
an-cn
cn
=0，cn=an，利用數(shù)列{an}是公差不為零的等差數(shù)列，即可得出結(jié)論．
（ii）n≥2，dn=
an-cn
cn
-
an-1-cn-1
cn-1
=
an
cn
-
an-1
cn-1
．由數(shù)列{cn}使得{
anbn
cn
}是等比數(shù)列，可得
anbn
cn
×
cn-1
an-1bn-1
=k為常數(shù)，
an
cn
=s•
an-1
cn-1
（s為非0常數(shù)），得到dn=t•
an
cn
．
由于n≥2，存在正常數(shù)M，使
1
M
＜|dn|＜M恒成立．可得n≥2，存在正常數(shù)M，使
1
M
＜|
tan
cn
|＜M恒成立，于是存在常數(shù)p使得cn=pan，而數(shù)列{an}是公差不為零的等差數(shù)列，∴此時(shí)數(shù)列{cn}也是等差數(shù)列．
解答： 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差d≠0，等比數(shù)列{bn}的公比q≠0，
∵cn=（an+1-an）bn=dbn，
則
cn+1
cn
=
dbn+1
dbn
=q≠0，
因此{(lán)cn}為等比數(shù)列；
（2）∵an是公差為2的整數(shù)項(xiàng)數(shù)列，∴an=a1+2（n-1）∈Z．
∵cn=anbn（n∈N*），bn=(
12
13
)n，
∴cn=(a1+2n-2)•(
12
13
)n．
∵c5＞2c4＞4c3＞8c2＞16c1，
∴由c5＞2c4可得，(a1+8)•(
12
13
)5＞2×(a1+6)•(
12
13
)4，解得a1＜-
30
7
，
同理可得a1＜-
16
7
，a1＜-
2
7
，a1＜
12
7
．
綜上可得：a1＜-
30
7
．
又當(dāng)n≥17時(shí)，{cn}是遞減數(shù)列，
∴cn＞cn+1，
∴(a1+2n-2)•(
12
13
)n＞(a1+2n)•(
12
13
)n+1，
化為a1＞26-2n，
∴a1＞26-2×17=-8．
綜上可得：-8＜a1＜-
30
7
，
又a1∈Z，∴a1=-7，-6，-5．
∴an=2n-9，或2n-8，或2n-7．
（3）（i）n≥2，當(dāng)dn=0恒成立時(shí)，數(shù)列{dn}的前n項(xiàng)和為
an-cn
cn
=0，cn=an，
∵數(shù)列{an}是公差不為零的等差數(shù)列，∴此時(shí)數(shù)列{cn}也是等差數(shù)列．
（ii）∵當(dāng)n≥2時(shí)，dn=
an-cn
cn
-
an-1-cn-1
cn-1
=
an
cn
-
an-1
cn-1
．
∵存在數(shù)列{cn}使得{
anbn
cn
}是等比數(shù)列，
∴
anbn
cn
×
cn-1
an-1bn-1
=k為常數(shù)，
∴
an
cn
=s•
an-1
cn-1
（s為非0常數(shù)），∴dn=t•
an
cn
．
∵n≥2，存在正常數(shù)M，使
1
M
＜|dn|＜M恒成立，
∴n≥2，存在正常數(shù)M，使
1
M
＜|
tan
cn
|＜M恒成立，
∴存在常數(shù)p使得cn=pan，而數(shù)列{an}是公差不為零的等差數(shù)列，∴此時(shí)數(shù)列{cn}也是等差數(shù)列．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式及其性質(zhì)，考查了推理能力和計(jì)算能力，考查了靈活解決問(wèn)題的能力，屬于難題．
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2
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5
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1
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1
3
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5
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1
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1
a1
+
1
a2
+…+
1
an
與
16
3
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5
x
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（填寫所有正確命題的序號(hào)）

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