【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=aexlnx+ ,曲線y=f(x)在點(1,f(1))處得切線方程為y=e(x﹣1)+2.
(Ⅰ)求a、b;
(Ⅱ)證明:f(x)>1.
【答案】解:(Ⅰ)函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞),f′(x)= + ,
由題意可得f(1)=2,f′(1)=e,
故a=1,b=2;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)=exlnx+ ,
∵f(x)>1,∴exlnx+ >1,∴l(xiāng)nx> ﹣ ,
∴f(x)>1等價于xlnx>xe﹣x﹣ ,設(shè)函數(shù)g(x)=xlnx,則g′(x)=1+lnx,
∴當(dāng)x∈(0, )時,g′(x)<0;當(dāng)x∈( ,+∞)時,g′(x)>0.
故g(x)在(0, )上單調(diào)遞減,在( ,+∞)上單調(diào)遞增,從而g(x)在(0,+∞)上的最小值為g( )=﹣ .
設(shè)函數(shù)h(x)=xe﹣x﹣ ,則h′(x)=e﹣x(1﹣x).
∴當(dāng)x∈(0,1)時,h′(x)>0;當(dāng)x∈(1,+∞)時,h′(x)<0,
故h(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減,
從而h(x)在(0,+∞)上的最大值為h(1)=﹣ .
綜上,當(dāng)x>0時,g(x)>h(x),即f(x)>1
【解析】(Ⅰ)求出定義域,導(dǎo)數(shù)f′(x),根據(jù)題意有f(1)=2,f′(1)=e,解出即可;(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)>1等價于xlnx>xe﹣x﹣ ,設(shè)函數(shù)g(x)=xlnx,函數(shù)h(x)= ,只需證明g(x)min>h(x)max , 利用導(dǎo)數(shù)可分別求得g(x)min , h(x)max;
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【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知過點的直線的參數(shù)方程是(為參數(shù)).以平面直角坐標(biāo)系的原點為極點, 軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程式為.
(Ⅰ)求直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)若直線與曲線交于兩點,且,求實數(shù)的值.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=|x2﹣1|+x2﹣kx.
(1)若k=2時,求出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間及最小值;
(2)若f(x)≥0恒成立,求實數(shù)k的取值范圍.
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【題目】為提高信息在傳輸中的抗干擾能力,通常在原信息中按一定規(guī)則加入相關(guān)數(shù)據(jù)組成傳輸信息.設(shè)定原信息為 (),傳輸信息為,其中,運算規(guī)則為:,,,,例如原信息為111,則傳輸信息為01111.傳輸信息在傳輸過程中受到干擾可能導(dǎo)致接收信息出錯,則下列接收信息一定有誤的是( )
A. 11010 B. 01100 C. 10111 D. 00011
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【題目】已知函數(shù)f(x)=(x-k)ex,
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)求f(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值.
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【題目】給定函數(shù)① ,② ,③y=|x﹣1|,④y=2x+1 , 其中在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減的函數(shù)序號是( )
A.①②
B.②③
C.③④
D.①④
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【題目】(12分)某同學(xué)參加3門課程的考試。假設(shè)該同學(xué)第一門課程取得優(yōu)秀成績的概率為,第二、第三門課程取得優(yōu)秀成績的概率分別為,(>),且不同課程是否取得優(yōu)秀成績相互獨立。記ξ為該生取得優(yōu)秀成績的課程數(shù),其分布列為
ξ | 0 | 1 | 2 | 3 |
(Ⅰ)求該生至少有1門課程取得優(yōu)秀成績的概率;
(Ⅱ)求,的值;
(Ⅲ)求數(shù)學(xué)期望ξ。
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