Question

用min{a，b}表示a，b兩個(gè)實(shí)數(shù)中的最小值．已知函數(shù)f（x）=min{|log₂x|，|log₂（x-t）|}（t＞0），若函數(shù)g（x）=f（x）-1至少有3個(gè)零點(diǎn)，則t的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由題意可知函數(shù)y=|log₂（x-t）|的圖象可由函數(shù)y=|log₂t|的圖象向右平移t個(gè)單位長(zhǎng)度得到．由函數(shù)g（x）=f（x）-1至少有3個(gè)零點(diǎn)，可知方程f（x）=1至少有三個(gè)根，則y=|log₂（x-t）|至少過點(diǎn)（2，1），代入可求t的最小值．

解答： 解：因?yàn)閠＞0，
所以函數(shù)y=|log₂（x-t）|的圖象可由函數(shù)y=|log₂x|的圖象向右平移t個(gè)單位長(zhǎng)度得到．
因?yàn)楹瘮?shù)g（x）=f（x）-1至少有3個(gè)零點(diǎn)，
所以方程f（x）=1至少有三個(gè)根，則可知y=|log₂（x-t）|至少過點(diǎn)（2，1），
所以|log₂（x-t）|=1
解得t=

3

2

，
即向右至少平移

3

2

個(gè)單位長(zhǎng)度，
所以t的最小值為

3

2

，
故答案為：

3

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)和絕對(duì)值函數(shù)的圖象、圖象的平移、函數(shù)的零點(diǎn)等重點(diǎn)知識(shí)，又涉及新定義問題，函數(shù)的零點(diǎn)是高考中經(jīng)常出現(xiàn)的一類問題，各地出現(xiàn)的機(jī)會(huì)較大，也有可能以方程的根或圖象的交點(diǎn)的形式出現(xiàn)，實(shí)質(zhì)是一樣的，另外，極有可能結(jié)合三大性質(zhì)：周期性、對(duì)稱性、奇偶性來綜合命制，難度較大，值得重視．