Question

14．設(shè)S_n為等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，其中a₁=1，且$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$=λa_n+1（n∈N^*）．
（Ⅰ）求常數(shù)λ的值，并寫出{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）記b_n=$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求最小的正整數(shù)k，使得對任意的n≥k，都有|T_n-$\frac{3}{4}$|＜$\frac{1}{4n}$成立．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用賦值法分別求出${a}_{2}=\frac{1}{λ}$，${a}_{3}=1+\frac{1}{λ}$，進(jìn)一步利用等差中項(xiàng)求出λ的值，最后確定數(shù)列的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）利用上步的結(jié)論，進(jìn)一步根據(jù)所求的b_n=$\frac{n}{{3}^{n}}$，利用乘公比錯(cuò)位相減法求出數(shù)列的和，最后利用所得的關(guān)系式，利用賦值法求出恒成立的n的最小值．

解答 解：（Ⅰ）S_n為等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，其中a₁=1，且$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$=λa_n+1（n∈N^*）．
令n=1時(shí)，解得：${a}_{2}=\frac{1}{λ}$，
令n=2時(shí)，解得：${a}_{3}=1+\frac{1}{λ}$
所以：$\frac{2}{λ}=\frac{1}{λ}+1+1$，解得：$λ=\frac{1}{2}$
則：a₂=2，d=1，
所以：a_n=n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得a_n=n，
所以：b_n=$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$=$\frac{n}{{3}^{n}}$，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，
T_n=b₁+b₂+…+b_n=$\frac{1}{{3}^{1}}$$+\frac{2}{{3}^{2}}$+…+$\frac{n-1}{{3}^{n-1}}$$+\frac{n}{{3}^{n}}$①
$\frac{1}{3}{T}_{n}$=$\frac{1}{{3}^{2}}$$+\frac{2}{{3}^{3}}$+…+$\frac{n-1}{{3}^{n}}$$+\frac{n}{{3}^{n+1}}$②
所以：①-②得：
${T}_{n}=\frac{3}{4}-$$\frac{2n+3}{4•{3}^{n}}$
使得對任意的n≥k，都有|T_n-$\frac{3}{4}$|＜$\frac{1}{4n}$成立．
則：$\frac{2n+3}{4•{3}^{n}}＜\frac{1}{4n}$，
即：$\frac{n（2n+3）}{{3}^{n}}＜1$，
設(shè)：$\frac{n（2n+3）}{{3}^{n}}=hiippvl_{n}$
則：$cucfkmg_{1}=\frac{5}{3}$，$1hawpn5_{2}=\frac{14}{9}$，d₃=1，
當(dāng)n≥4時(shí)，d_n＜1，
所以：n取最小值為4，$\frac{n（2n+3）}{{3}^{n}}＜1$恒成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：等差數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，利用乘公比錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，恒成立問題的應(yīng)用及相關(guān)的運(yùn)算問題，主要考查學(xué)生的運(yùn)算和探究的能力．