Question

數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，滿足：S_n=

3

2

（a_n-1），數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，滿足：T_n=2n²+5n．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若把數(shù)列{a_n}，{b_n}的公共項(xiàng)從小到大的順序排成一數(shù)列{t_n}（不需證明），求使得不等式3log₃t_n＞T_n成立的值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知得a_n=S_n-S_n-1=

3

2

(an-1)-

3

2

(an-1-1)=

3

2

(an-an-1)，由此求出an=3n．由b_n=T_n-T_n-1，得到b_n=4n+3．
（Ⅱ）觀察數(shù)列{a_n}，{b_n}的公共項(xiàng)，猜想，t_n=3²ⁿ⁺¹，則不等式3log₃t_n＞T_n等價(jià)于3（2n+1）＞2n²+5n，由此求出n=1．

解答： 解：（Ⅰ）∵S_n=

3

2

（a_n-1），
∴a_n=S_n-S_n-1=

3

2

(an-1)-

3

2

(an-1-1)
=

3

2

(an-an-1)，
整理，得a_n=3a_n-1，
又a1=S1=

3

2

(a1-1)，解得a₁=3，
∴an=3n．
∵數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，滿足：T_n=2n²+5n．
∴b₁=T₁=2+5=7，
b_n=T_n-T_n-1=（2n²+5n）-[2（n-1）²+5（n-1）]=4n+3，
n=1時(shí)，上式成立，
∴b_n=4n+3．
（Ⅱ）觀察數(shù)列{a_n}，{b_n}的公共項(xiàng)，
t1=33=4×6+3，
t2=35=4×60+3，
t3=37=4×546+3，
由此猜想，t_n=3²ⁿ⁺¹，
則不等式3log₃t_n＞T_n等價(jià)于3（2n+1）＞2n²+5n，
即2n²-n-3＜0，
則-1＜n＜

3

2

，∴n=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查使不等式成立的值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意合理猜想的靈活運(yùn)用．