Question

已知等差數(shù)列{a_n}，公差d＞0，前n項(xiàng)和為S_n，S₃=12，且滿(mǎn)足a₃-a₁，a₄，a₈成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}滿(mǎn)足2a_n+1-a_n=2ⁿb_nS_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專(zhuān)題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）利用S₃=12，求出a₂=4，由a₃-a₁，a₄，a₈成等比數(shù)列，可得2d•（4+6d）=（4+2d）²，求出d，即可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)，利用裂項(xiàng)法，求前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵S₃=12，∴a₂=4，
∵a₃-a₁，a₄，a₈成等比數(shù)列，
∴2d•（4+6d）=（4+2d）²，
∴d=2或d=-1，
∵d＞0，
∴d=2，
，∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=2n；
（Ⅱ）∵2a_n+1-a_n=2ⁿb_nS_n，
∴b_n=2[

1

2n-1•n

-

1

2n•(n+1)

]，
∴T_n=2[（

1

20•1

-

1

21•2

）+（

1

21•2

-

1

22•3

）+…+（

1

2n-1•n

-

1

2n•(n+1)

）]=2[1-

1

2n•(n+1)

]
=2-

1

2n-1•(n+1)

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．