Question

定義函數(shù)f（x）=-x³+ax²+b（a，b∈R）．
（Ⅰ）f′（x）是f（x）的導函數(shù)，若不等式|f′（x）|≤1對任意的x∈[0，1]恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）若b＜0，函數(shù)f（x）有兩個零點滿足x₁∈（0，1），x₂∈（1，2），求a-2b的取值范圍．

Answer 1

考點：簡單線性規(guī)劃,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導數(shù)的概念及應用

分析：（Ⅰ）求出函數(shù)的導數(shù)根據(jù)不等式|f′（x）|≤1對任意的x∈[0，1]恒成立，結(jié)合一元二次函數(shù)的性質(zhì)即可求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)零點的取值范圍，建立不等式關(guān)系，利用線性規(guī)劃的知識即可得到結(jié)論．

解答： （Ⅰ）∵f（x）=-x³+ax²+b（a，b∈R）．
∴f′（x）=）=-3x²+2ax，
當a≤0，必須有|f′（1）|≤1，解得1≤a≤2，此時不成立．
當0＜

a

3

＜1，必須|f′（1）|≤1且|f′（

a

3

）|≤1，解得1≤a≤

3

，
當a≥3，必須|f′（1）|≤1，解得1≤a≤2，不成立．
綜上1≤a≤

3

．
（Ⅱ）∵f（0）=b＜0，函數(shù)f（x）有兩個零點滿足x₁∈（0，1），x₂∈（1，2），
∴

f(0)＜0 f(1)＞0 f(2)＜0

，即

b＜0 -1+a+b＞0 -8+4a+b＜0

，
作出可行域如圖：則Q（1，0），
由

a+b=1 4a+b=8

，解得

a= 7 3 b=- 4 3

，即P（

7

3

，-

4

3

），
∴t₁=a-2b=1，t2=a-2b=

7

3

+

8

3

=5，
即1＜a-2b＜5．

點評：本題主要考查導數(shù)的應用，利用一元二次函數(shù)和線性規(guī)劃的知識是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強，有一定的難度．