Question

15．是否存在實(shí)數(shù)m與鈍角θ，使sinθ與sin（θ-$\frac{π}{3}$）是關(guān)于x的方程2x²-3x+m=0的兩個(gè)實(shí)根？若不存在，請說明理由；若存在，求出m與θ的值．

Answer 1

分析 存在，理由為：根據(jù)題意，利用韋達(dá)定理列出關(guān)系式，且根的判別式大于等于0，即可求出m與θ的值．

解答 解：∵sinθ與sin（θ-$\frac{π}{3}$）是方程2x²-3x+m=0的兩個(gè)實(shí)根，
∴sinθ+sin（θ-$\frac{π}{3}$）=$\frac{3}{2}$①；sinθ•sin（θ-$\frac{π}{3}$）=$\frac{m}{2}$②；△=9-8m≥0③，
由①整理得：2sin（θ-$\frac{π}{6}$）cos$\frac{π}{6}$=$\frac{3}{2}$，即sin（θ-$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴θ=$\frac{5π}{6}$，
將θ=$\frac{5π}{6}$值代入②，得m=1；
將m=1代入③，△≥0成立，
則存在這樣的實(shí)數(shù)m與鈍角θ，此時(shí)θ=$\frac{5π}{6}$，m=1．

點(diǎn)評 此題考查了兩家和與差的正弦函數(shù)公式，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．