Question

10．一公差不為0的等差數(shù)列{a_n}共有100項，首項為5，其第1、4、16項分布為正項等比數(shù)列{b_n}的第1、3、5項．
（1）求{a_n}各項的和S；
（2）記{b_n}的末項不大于$\frac{S}{2}$，求{b_n}項數(shù)的最值N；
（3）記{a_n}前n項和為S_n，{b_n}前N項和為T_N，問：是否存在自然數(shù)m，使S_m=T_N？

Answer 1

分析 利用（5+3d）²=5（5+15d）可知公差d=5．
（1）利用等差數(shù)列的求和公式計算即得結(jié)論；
（2）通過d=5可知b₃的值，進(jìn)而可得公比，問題即求不等式5•2^n-1≤$\frac{25250}{2}$的最大整數(shù)解，計算即可；
（3）假設(shè)S_m=T_N，即5m+$\frac{m（m-1）}{2}$×5=5（2¹²-1），計算即得結(jié)論．

解答 解：設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
則b₁=a₁=5，b₃=a₄=5+3d，b₅=a₁₆=5+15d，
∴（5+3d）²=5（5+15d），
解得d=5或d=0（舍）．
（1）S=100×5+$\frac{100×99}{2}×5$=25250；
（2）∵d=5，∴b₃=5+3d=20，
∵b_n＞0，∴公比q=$\sqrt{\frac{_{3}}{_{1}}}$=$\sqrt{\frac{20}{5}}$=2，
∴b_n=5•2^n-1，
令5•2^n-1≤$\frac{25250}{2}$，即2ⁿ≤5050，
又∵2¹²＜5050＜2¹³，即n＜13，
且2¹²=4096＜5050，
∴N的最大值為12；
（3）結(jié)論：存在自然數(shù)m=90，使S₉₀=T₁₂．
理由如下：
∵b₁=a₁=5，d=5，q=2，
∴S_m=T_N，即5m+$\frac{m（m-1）}{2}$×5=5（2¹²-1），
整理得：m²+m-8190=0，
解得m=90或-91（舍），
故存在自然數(shù)m=90，使S₉₀=T₁₂．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．