Question

在某學(xué)校組織的一次籃球定點(diǎn)投籃訓(xùn)練中，規(guī)定每人最多投3次，在A(yíng)處每投進(jìn)一球得3分，在B處每投進(jìn)一球得2分，如果前兩次得分之和超過(guò)3分即停止投籃，否則投三次，某同學(xué)在A(yíng)處的命中率為p，在B處的命中率為q，該同學(xué)選擇先在A(yíng)處投一球，以后都在B處投，用X表示該同學(xué)投籃訓(xùn)練結(jié)束后所得的總分，其分布列為：

X	0	2	3	4	5
P	P1	P2	P3	P4	P5

（1）若p=0.25，P₁=0.03，求該同學(xué)用上述方式投籃得分是5分的概率
（2）若該同學(xué)在B處連續(xù)投籃3次，投中一次得2分，用Y表示該同學(xué)投籃結(jié)束后所得的總分，試比較E（X）與E（Y）的大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率

專(zhuān)題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）由題設(shè)知，“X=0”對(duì)應(yīng)的事件為“在三次投籃中沒(méi)有一次投中”，由對(duì)立事件和相互獨(dú)立事件性質(zhì)，
知P（X=0）=（1-p）（1-q）²=0.03，由p=0.25，解得q=0.8．由此能求出該同學(xué)用上述方式投籃得分是5分的概率．
（2）根據(jù)題意利用相互獨(dú)立事件乘法公式分別求出p₁，p₂，p₃，p₄，p₅，由此求出E（X）；由已知得Y的可能取值為0，2，4，分別求出P（Y=0），P（Y=2），P（Y=4），由此求出E（Y），從而能比較E（X）與E（Y）的大�。�

解答： 解：（1）由題設(shè)知，“X=0”對(duì)應(yīng)的事件為“在三次投籃中沒(méi)有一次投中”，
由對(duì)立事件和相互獨(dú)立事件性質(zhì)，
知P（X=0）=（1-p）（1-q）²=0.03，
由p=0.25，解得q=0.8．
∴該同學(xué)用上述方式投籃得分是5分的概率
P（X=5）=pq+p（1-q）q=0.25×0.8+0.25×0.2×0.8=0.24．
（2）根據(jù)題意p₁=P（X=0）=（1-p）（1-q）²=（1-0.75）（1-0.8）²=0.03，
p₂=P（X=2）=（1-p）•

C

1 2

（1-q）q=2（1-p）（1-q）q=2（1-0.25）（1-0.8）×0.8=0.24，
p₃=p（X=3）=p（1-q）²=0.25×（1-0.8）²=0.01
p₄=p（X=4）=（1-p）q²=0.75×0.8²=0.48，
p₅=p（X=5）=pq+q（1-q）q=0.25×0.8+0.25×0.2×0.8=0.24，
因此E（X）=0×0.03+2×0.24+3×0.01+4×0.48+5×0.24=3.63．
由已知得Y的可能取值為0，2，4，
P（Y=0）=（1-0.8）³=0.008，
P（Y=2）=

C

1 3

(0.8)(1-0.8)2=0.096，
P（Y=4）=0.8²+0.2×0.8×0.8+0.8×0.2×0.8=0.896，
∴E（Y）=0×0.008+2×0.096+4×0.896=3.776．
∴E（X）＜E（Y）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法及應(yīng)用，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意可能事件概率計(jì)算公式和相互獨(dú)立事件概率乘法公式的合理運(yùn)用．