Question

已知f（x）=log₂（2x-x²）．且關(guān)于x的方程2^f（x）=kx+1有兩個(gè)不相等的實(shí)根x₁、x₂．
（1）求f（x）的定義域；
（2）求k的取值范圍M；
（3）是否存在實(shí)數(shù)n，使得不等式n²+n+1＞2|x₁-x₂|對(duì)任意的k∈M恒成立？若存在，求出n的取值范圍，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)對(duì)數(shù)的定義，真數(shù)大于0，得到關(guān)于x的不等式，解得即可；
（2）代入化簡(jiǎn)得到x²+（k-2）+1=0，x∈（0，2），根據(jù)根的存在條件得到關(guān)于k的不等式組，解得即可；
（3）先求出|x₁-x₂|的范圍，假設(shè)存在實(shí)數(shù)n，則n²+n+1≥3，解得即可．

解答： 解：（1）由題意x（2-x）＞0，
即x（x-2）＜0，
解得0＜x＜2，
即f（x）的定義域；（0，2）；
（2）由題意得2^f（x）=kx+1?x²+（k-2）+1=0，x∈（0，2），
令g（x）=x²+（k-2）+1，
則

△=(k-2)2-4＞0 g(0)=1＞0 g(2)=4+2k-4+1＞0 0＜ 2-k 2 ＜2

，
∴k∈（-

1

2

，0），
∴M=（-

1

2

，0），
（3）由（2）知，|x₁、x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

(k-2)2-4

∈(0，

3

2

)
假設(shè)存在實(shí)數(shù)n，使得不等式n²+n+1＞2|x₁-x₂|對(duì)任意的k∈M恒成立，
則n²+n+1≥3，解得n≤-2，或n≥1，
故存在實(shí)數(shù)n，其取值范圍為：（-∞，-2]∪[1，+∞）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了對(duì)數(shù)的定義，根的存在性，以及不等式（組）的解法，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．