Question

已知函數(shù)f（x）=-3x²+3，定義數(shù)列{a_n}滿足a₁=3，且a_n＞0，a_n+1=

-3f(an)+9

（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若b_n=

1

an

，數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，求證：S_n＜

1

2

．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知條件得a_n+1=

-3(-3an2+3)+9

=3a_n，由此能求出an=3n．
（Ⅱ）由b_n=

1

an

=

1

3n

，利用等比數(shù)列前n項和公式能證明Sn=

1

2

[1-(

1

3

)n]＜

1

2

．

解答： （Ⅰ）解：∵f（x）=-3x²+3，數(shù)列{a_n}滿足a₁=3，
且a_n＞0，a_n+1=

-3f(an)+9

，
∴a_n+1=

-3(-3an2+3)+9

=3a_n，
∴{a_n}是首項為3，公比為3的等比數(shù)列，
∴an=3n．
（Ⅱ）證明：∵b_n=

1

an

=

1

3n

，
∴S_n=

1

3

+

1

32

+…+

1

3n

=

1 3 (1- 1 3n )

1- 1 3

=

1

2

[1-（

1

3

）ⁿ]，
∴Sn=

1

2

[1-(

1

3

)n]＜

1

2

．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的證明，考查不等式的證明，解題時要注意等比數(shù)列的性質(zhì)的靈活運用．