Question

在△ABC中a、b、c分別為角A、B、C所對的邊長，已知：C=

π

3

，a+b=λc（其中λ＞1）
（1）當λ=2時，證明：a=b=c；
（2）若

AC

•

BC

=λ³，求邊長c的最小值．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算,余弦定理

專題：綜合題,解三角形,平面向量及應用

分析：（1）利用正弦定理，可得sinB+sin(

2

3

π-B)=

3

，求出B，即可證明：a=b=c；
（2）

AC

•

BC

=λ³，ab=2λ³，再由a+b=λc可得c的關(guān)系式，利用導數(shù)，即可求邊長c的最小值．

解答： （1）證明：∵a+b=λc，由正弦定理得，sinA+sinB=λsinC=

3

，
∴sinB+sin(

2

3

π-B)=

3

，化簡得：sin(B+

π

6

)=1，∴B=

π

3

，
∴△ABC為正三角形，∴a=b=c．…（5分）
（2）解：由余弦定理得；c²=a²+b²-2abcosC=a²+b²-ab=（a+b）²-3ab，
又由

AC

•

BC

=λ3知：ab=2λ³，再由a+b=λc可得：c2=λ2c2-6λ3⇒c2=

6λ3

λ2-1

，
設(shè)f(λ)=

6λ3

λ2-1

(λ＞1)，下面求f（λ）的最值．
求導函數(shù)：f′(λ)=

6λ2(λ+ 3 )(λ- 3 )

(λ2-1)2

，
當f'（λ）=0時，解得λ=

3

，其中λ=0，λ=-

3

舍去．
由于當1＜λ＜

3

時，f'（λ）＜0；當λ＞

3

時f'（λ）＞0，
故f（λ）在(1，

3

)上時減函數(shù)，在(

3

，+∞)上是增函數(shù)，
因此當λ=

3

時，f（λ）取極小值，又在（1，+∞）上f（λ）有且只有一個極值點，
所以當λ=

3

時，f（λ）取到最小值．f(λ)min=f(

3

)=9

3

，
于是在△ABC中邊長c存在最小值，不存在最大值，其最小值為cmin=

f(λ)min

=3

4	3

．…（13分）

點評：本題考查正弦定理、余弦定理，考查導數(shù)知識的運用，確定函數(shù)關(guān)系式是關(guān)鍵．