Question

若函數(shù)y=f（x）的值域是[

1

2

，3]，則函數(shù)g（x）=f（x）+

2

f(x)

的值域是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：設(shè)f（x）=t，把g（x）轉(zhuǎn)化成關(guān)于t的函數(shù)，利用基本不等式求得函數(shù)的最小值，把兩個(gè)端點(diǎn)的值代入，較大的即為函數(shù)的最大值．

解答： 解：設(shè)f（x）=t，則g（x）=u（t）=

2

t

+t，
依題意知

1

2

≤f（x）≤3，
∴

1

2

≤t≤3
g（x）=u（t）=

2

t

+t≥2

2

，當(dāng)且僅當(dāng)t=

2

t

時(shí)，即t=

2

時(shí)等號(hào)成立，
∵u（

1

2

）=

1

2

+4=

9

2

，u（3）=3+

2

3

=

11

3

，
∴u（t）_max=

9

2

，
∴函數(shù)u（t）的值域?yàn)閇2

2

，

9

2

]，即函數(shù)g（x）的值域?yàn)閇2

2

，

9

2

]，
故答案為：[2

2

，

9

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的值域問題．考查了學(xué)生分析和推理能力．