Question

如圖，ABCD-A₁B₁C₁D₁是長(zhǎng)方體，AB=AD=a，AA₁=2a．
（1）求多面體A₁B₁C₁D₁-BCD的體積；
（2）求證：平面A₁BD⊥平面ACC₁A₁．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）多面體A₁B₁C₁D₁-BCD的體積V=V長(zhǎng)方體-VA1-ACD；
（2）欲證平面ACC₁A₁⊥平面A₁BD，根據(jù)面面垂直的判定定理可知在平面A₁BD內(nèi)一直線與平面ACC₁A₁垂直，而根據(jù)線面垂直的判定定理可得BD⊥平面ACC₁A₁．

解答： （1）解：多面體A₁B₁C₁D₁-BCD的體積V=V長(zhǎng)方體-VA1-ACD…（2分）
=AB×AD×AA1-

1

3

×

1

2

×AB×AD×AA1…（4分）
=

5

3

a3…（6分）
（2）證明：A₁B₁C₁D₁-ABCD是長(zhǎng)方體，AA₁⊥底面ABCD…（7分），
所以AA₁⊥BD…（9分）
又因?yàn)锳B=AD且ABCD是長(zhǎng)方體，所以AC⊥BD…（10分）
因?yàn)锳A₁∩AC=A，所以BD⊥平面ACC₁A₁…（12分）
因?yàn)锽D?平面A₁BD，所以平面A₁BD⊥平面ACC₁A₁…（14分）．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查空間中的線面關(guān)系，考查面面垂直的判定，考查識(shí)圖能力和邏輯思維能力，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．