Question

【題目】已知橢圓：的離心率為，且過點，其右焦點為．點是橢圓上異于長軸端點的任意一點，連接并延長交橢圓于點，線段的中點為，為坐標原點，且直線與右準線交于點．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若，求點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）（2）或．

【解析】

（1）由離心率得出a、b、c的等量關系，再將點A的坐標代入橢圓方程，可求出a、b、c的值，從而得出橢圓C的標準方程；（2）解法1：設點P（x0，y0）（y0≠0），對PF與x軸是否垂直進行分類討論，在兩種情況下求中點M的坐標，寫出直線OM的方程，并求出點N的坐標，結合條件MN＝2OM以及點P的坐標橢圓C的方程可求出點P的坐標；解法2：對直線PQ與x軸是否垂直進行分類討論，在第一種情況PQ⊥x軸時，分別求出點M、N的坐標，并對條件MN＝2OM進行驗證是否滿足題意；第二種情況就是直線PQ的斜率存在時，設直線PQ的方程為y＝k（x﹣1）（k≠0），將直線PQ的方程與橢圓C的方程聯立，列出韋達定理，并求出線段PQ的中點M的坐標，由MN＝2ON得出k的值，從而得出點P的坐標．

（1）由題意可知解得，，

所以橢圓的標準方程為．

（2）法1：設（）．

當時，點坐標為，點坐標為，，不符合題意；

當時，直線的方程為，代入的方程，消去整理得

，

所以中點的橫坐標，因為，橢圓的右準線為，所以，從而，即． 又因為，所以，解得或，故點的坐標為或．

法2：當直線的斜率不存在時，點坐標為，點坐標為，，不符合題意；當直線的斜率存在時，設直線：，聯立得

，所以中點的橫坐標，因為，橢圓的右準線為，所以，從而，解之得．當時，：，聯立得或；

當時，：，聯立得或．

故點的坐標為或．