Question

20．已知直線(xiàn)l₁：4x-3y+6=0和直線(xiàn)l₂：x=0，拋物線(xiàn)y²=4x上一動(dòng)點(diǎn)P到直線(xiàn)l₁和直線(xiàn)l₂的距離之和的最小值是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 拋物線(xiàn)y²=4x上一動(dòng)點(diǎn)P到直線(xiàn)l₁和直線(xiàn)l₂的距離之和轉(zhuǎn)化為：拋物線(xiàn)y²=4x上一動(dòng)點(diǎn)P到直線(xiàn)l₁和直線(xiàn)x=1的距離之和，x=-1是拋物線(xiàn)y²=4x的準(zhǔn)線(xiàn)，則P到x=-1的距離等于PF，拋物線(xiàn)y²=4x的焦點(diǎn)F（1，0）過(guò)P作4x-3y+6=0垂線(xiàn)，和拋物線(xiàn)的交點(diǎn)就是P，所以點(diǎn)P到直線(xiàn)l₁：4x-3y+6=0的距離和到直線(xiàn)l₂：x=-1的距離之和的最小值就是F（1，0）到直線(xiàn)4x-3y+6=0距離．

解答 解：x=-1是拋物線(xiàn)y²=4x的準(zhǔn)線(xiàn)，則P到x=-1的距離等于PF，
拋物線(xiàn)y²=4x的焦點(diǎn)F（1，0）
過(guò)P作4x-3y+6=0垂線(xiàn)，和拋物線(xiàn)的交點(diǎn)就是P，
所以點(diǎn)P到直線(xiàn)l₁：4x-3y+6=0的距離和到直線(xiàn)l₂：x=-1的距離之和的最小值
就是F（1，0）到直線(xiàn)4x-3y+6=0距離，
所以最小值=$\frac{|4-0+6|}{\sqrt{{4}^{2}+{（-3）}^{2}}}$=2．
直線(xiàn)l₁：4x-3y+6=0和直線(xiàn)l₂：x=0，拋物線(xiàn)y²=4x上一動(dòng)點(diǎn)P到直線(xiàn)l₁和直線(xiàn)l₂的距離之和的最小值是：2-1=1
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式的求法，是中檔題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意拋物線(xiàn)的性質(zhì)的靈活運(yùn)用．