Question

在△ABC中，角A，B，C對的邊分別為a，b，c，且c=2，sin（C-

π

6

）=cosC
（Ⅰ）求

a+b

sinA+sinB

的值；
（Ⅱ）若a+b=ab，求△ABC的面積S_△ABC．

Answer 1

考點：余弦定理,正弦定理

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（Ⅰ）已知等式左邊利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡，整理后求出tanC的值，確定出C的度數(shù)，再由c的值，利用正弦定理列出關(guān)系式，表示出a，b，代入原式計算即可得到結(jié)果；
（Ⅱ）利用余弦定理列出關(guān)系式，將c與cosC的值代入得到a與b的關(guān)系式，與a+b=ab聯(lián)立求出ab的值，再由sinC的值，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積．

解答： 解：（Ⅰ）∵sin（C-

π

6

）=sinCcos

π

6

-cosCsin

π

6

=cosC，
∴sinC=

3

cosC，即tanC=

3

，
又C為三角形內(nèi)角，
∴C=

π

3

，
∵c=2，
∴由正弦定理得

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=

2

sin60°

=

4 3

3

，
∴a=

4 3

3

sinA，b=

4 3

3

sinB，
則

a+b

sinA+sinB

=

4 3 3 (sinA+sinB)

sinA+sinB

=

4 3

3

；
（2）由余弦定理得c²=a²+b²-2abcosC，即4=a²+b²-ab=（a+b）²-3ab，
又a+b=ab，
∴（ab）²-3ab-4=0，
解得：ab=4或ab=-1（舍去），
則S_△ABC=

1

2

absinC=

1

2

×4×

3

2

=

3

．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面積公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．