Question

10．如圖，在正方體A₁B₁C₁D₁-ABCD中，
（1）在正方體的12條棱中，與棱AA₁是異面直線的有幾條（只要寫出結果）
（2）證明：AC∥平面A₁BC₁；
（3）證明：AC⊥平面BDD₁B₁．

Answer 1

分析 （1）畫出正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，根據(jù)異面直線的概念即可找出與棱AA₁異面的棱．
（2）連接AC，A₁C₁，則A₁C₁∥AC，利用線面平行的判定定理即可證明；
（3）由DD₁⊥面AC，知BD⊥AC，由DD₁⊥BD，能夠證明AC⊥平面BDD₁B₁．

解答 解：（1）與棱AA₁異面的棱為：CD，C₁D₁，BC，B₁C₁，共4條．
（2）證明：連接AC，A₁C₁，則A₁C₁∥AC，
∵AC?平面A₁BC₁，A₁C₁?平面A₁BC₁，
∴AC∥平面A₁BC₁；
（3）證明：∵DD₁⊥面AC，AC?平面AC，∴DD₁⊥AC，
∵AC⊥BD，DD₁∩BD=D，BD?平面BDD₁B₁，DD₁?平面BDD₁B₁
∴AC⊥平面BDD₁B₁．

點評 考查異面直線的概念，直線與平面垂直的證明，直線與平面平行的判定，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化，屬于中檔題．