Question

5．已知函數f（x）是定義在（-1，1）上的奇函數，
（1）若函數f（x）在區(qū)間（-1，0）上有最大值2，最小值-4，求函數f（x）在區(qū)間（0，1）上的最值；（直接寫出結果，不需要證明）
（2）若函數f（x）在區(qū)間（0，1）上單調遞增，試判斷函數f（x）在區(qū)間（-1，0）上的單調性并加以證明；
（3）若當x∈（0，1）時，f（x）=x²-2x，求函數f（x）的解析式．

Answer 1

分析 （1）f（x）為奇函數，圖象便關于原點對稱，從而根據f（x）在（-1，0）上的最值得出f（x）在（0，1）上的最值；
（2）根據奇函數在對稱區(qū)間上的單調性一致便知f（x）在（-1，0）上單調遞增，根據增函數的定義，設任意的x₁，x₂∈（-1，0），且x₁＜x₂，從而有-x₁，-x₂∈（0，1），-x₁＞-x₂，這樣根據f（x）在（0，1）上單調遞增便可比較f（-x₁），f（-x₂），再根據f（x）為奇函數即可得出f（x₁）＜f（x₂），這樣便可得出f（x）在（-1，0）上單調遞增；
（3）可設x∈（-1，0），從而有-x∈（0，1），這樣即可求出f（-x），從而得出f（x），而由f（x）在（-1，1）上為奇函數知f（0）=0，顯然f（0）滿足x∈（0，1）上的解析式，這樣便可用分段函數寫出f（x）的解析式．

解答 解：（1）f（x）在（0，1）上的最小值為-2，最大值為4；
（2）f（x）在（-1，0）上單調遞增，證明如下：
設x₁，x₂∈（-1，0），且x₁＜x₂，則：-x₁，-x₂∈（0，1），且-x₁＞-x₂；
∵f（x）在（0，1）上單調遞增；
∴f（-x₁）＞f（-x₂）；
f（x）為奇函數；
∴-f（x₁）＞-f（x₂）；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在（-1，0）上單調遞增；
（3）設x∈（-1，0），-x∈（0，1）；
∴f（-x）=x²+2x=-f（x）；
∴f（x）=-x²-2x；
又f（0）=0；
∴$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{{-x}^{2}-2x}&{x∈（-1，0）}\\{{x}^{2}-2x}&{x∈[0，1）}\end{array}\right.$．

點評 考查奇函數圖象的對稱性，函數最大、最小值的概念，奇函數在對稱區(qū)間上的單調性特點，增函數的定義，根據增函數的定義證明一個函數為增函數的方法和過程，對于奇函數，已知一區(qū)間上的解析式，求其對稱區(qū)間上解析式的方法和過程．